Paralelogrammaazonosság

A paralelogrammaazonosság egy elemi geometriai tétel, ami összefüggést állapít meg a paralelogramma oldalai és átlói között. A tételnek további következményei is vannak a komplex számok és a skalárszorzatos vektorterek körében. Egy (V, ||.|| ) normált vektortérben paralelogrammaazonosságnak nevezzük a következő formulát:

$\forall f,g\in V:||f+g||^{2}+||f-g||^{2}=2||f||^{2}+2||g||^{2}\;$

A formális azonosság geometriai elnevezése arra az analógiára utal, hogy a kétdimenziós euklideszi térben bármely paralelogrammában az átlók hosszának négyzetösszege megegyezik a oldalak hosszának négyzetösszegével.

Geometriai alkalmazás

Állítás

Ha egy paralelogramma oldalainak hossza a, b, és átlóinak hossza e, f, akkor

$2\left(a^{2}+b^{2}\right)=e^{2}+f^{2}.$

Bizonyítás

Jelölések a bizonyításhoz

A Pitagorasz-tételből közvetlenül adódik. Bevezetjük a további $h_{a}$ jelölést, ami az a oldalhosszhoz tartozó magasság. A Pitagorasz-tétel kétszeri alkalmazásával:

$(a+q)^{2}+h_{a}^{2}=e^{2}$

$(a-q)^{2}+h_{a}^{2}=f^{2}$

A két egyenlőség összeadásával adódik, hogy $2(a^{2}+q^{2}+h_{a}^{2})=e^{2}+f^{2}$ A Pitagorasz-tétel harmadik alkalmazásával $q^{2}+h_{a}^{2}=b^{2}$ következik, amivel a tétel bizonyítása kész.

A koszinusztétel szerint:

${\begin{aligned}e^{2}+f^{2}&=(a^{2}+b^{2}-2ab\ \cos(\beta ))+(c^{2}+b^{2}-2cb\ \cos(\gamma ))\\&=2(a^{2}+b^{2})\end{aligned}}$,

mivel $c=a$ és $\cos(\gamma )=\cos(\pi -\beta )=-\cos(\beta )$.

Az ${\vec {a}}$ és ${\vec {b}}$ vektorok által kifeszített parallelogramma

A koordinátageometriában már megjelennek vektorok a bizonyításban:

Legyen $\color {red}{\vec {e}}\color {black}={\vec {a}}+{\vec {b}}$ és $\color {blue}{\vec {f}}\color {black}={\vec {a}}-{\vec {b}}$, ekkor

$\color {red}e^{2}\color {black}+\color {blue}f^{2}\color {black}=\color {red}a^{2}+2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+b^{2}\color {black}+\color {blue}a^{2}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+b^{2}\color {black}=2a^{2}+2b^{2}$.

Általánosítás és megfordítás

Tetszőleges síknégyszögben a szokásos jelölésekkel:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4x^{2},$

ahol $x$ az átlók középpontjai közötti távolság. Paralelogramma esetén az átlók felezik egymást, a felezőpontok egybeesnek, így távolságuk nulla, tehát $x=0$, és adódik speciális esetben a paralelogrammaazonosság.

Megfordítva, ha teljesül a paralelogrammaazonosság, akkor $x=0$. Tehát az átlók felezik egymást, ami a paralelogramma egyik ekvivalens definíciója.

Komplex számok

Állítás

Ha z, w komplex számok, akkor:

$2\left(|z|^{2}+|w|^{2}\right)=|z+w|^{2}+|z-w|^{2}.$

Bizonyítás

A komplex számokat a Gauß-féle számsíkon tekintve z és w paralelogrammát feszítenek ki, aminek átlói z+w és z-w. Erre lehet alkalmazni a geometriai bizonyítást.

Számolással is lehet bizonyítani: Tudjuk, hogy $\left|z\right|^{2}=z{\overline {z}}$. Ezzel:

$\left|z+w\right|^{2}+\left|z-w\right|^{2}=(z+w){\overline {(z+w)}}+(z-w){\overline {(z-w)}}$

$=(z+w)({\overline {z}}+{\overline {w}})+(z-w)({\overline {z}}-{\overline {w}})$

$=(z{\overline {z}}+w{\overline {z}}+z{\overline {w}}+w{\overline {w}})+(z{\overline {z}}-w{\overline {z}}-z{\overline {w}}+w{\overline {w}})$

$=2z{\overline {z}}+2w{\overline {w}}$

$=2\left|z\right|^{2}+2\left|w\right|^{2}$

Az azonosságot teljesítő normált terek

Nem minden normált térben igaz az azonosság. Ellenben minden skalárszorzatos V tér esetén az ||x||:=<x,x> generált normával ellátva V paralelogrammaazonosságos tér. A megfordítás is igaz: Ha ||.|| olyan norma V felett, mellyel teljesül a paralelogrammaazonosság, akkor ||.|| segítségével definiálható V-n skalárszorzat (ez a Neumann-Jordan-tétel).

A paralelogrammaazonosságnak nagy jelentősége van az absztrakt függvényterek tárgyalásánál. Megmutatható például, hogy egy Banach-tér pontosan akkor Hilbert-tér, ha teljesül benne a paralelogrammaazonosság.

Állítás

Skalárszorzatos vektorterekben, vagy legalábbis pozitív szemidefinit skalárszorzattal ellátott vektorterekben

$\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2})$

ahol $\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ a skalárszorzat által indukált norma, vagy félnorma.

Bizonyítás

A bizonyításhoz csak annyit használunk fel, hogy a skalárszorzat a vektorok összeadására mindkét argumentumában lineáris. Emiatt

$\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle +\langle x-y,x-y\rangle$

$=\langle x,x+y\rangle +\langle y,x+y\rangle \ +\ \langle x,x-y\rangle -\langle y,x-y\rangle$

$=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle \ +\ \langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle$

$=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2})$

Megfordítás

A megfordítás következik a Jordan–Neumann-tételből: Ha egy $(V,\|{\cdot }\|)$ vektortérben teljesül a paralelogrammaazonosság, akkor létezik egy $\langle {\cdot },{\cdot }\rangle$ skalárszorzat, ami ezt a normát indukálja. Ez azt jelenti, hogy minden $x\in V$ esetén

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.$

Ez a skalárszorzat polarizációs formulával számítható. Valós esetben:

$\langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left({\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}\right)$

és komplex esetben:

$\langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)+{\frac {i}{4}}\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right).$

Hivatkozások

• Szőkefalvi-Nagy Béla, Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1972
• Mikolás Miklós, Valós függvénytan és ortogonális sorok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1978
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, 203–204. oldal

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Parallelogrammgleichung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.