A háromdimenziós paraboloid koordináta-rendszer koordinátafelületei A paraboloid koordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, ami a parabolikus koordináta-rendszer térbeli általánosítása a
(
μ
,
ν
,
λ
)
{\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}
elliptikus paraboloidok . Különbözik a parabolikus hengerkoordináta-rendszertől és a forgásparaboloid koordináta-rendszertől , melyek szintén a kétdimenziós parabolikus koordináta-rendszer térbeli általánosításai. Az előbbi koordinátafelületei parabolikus hengerek , míg a másodiké forgásparaboloidok . Szemben a másik két koordináta-rendszertől, nem kapható meg a kétdimenziós parabolikus koordináta-rendszer vetítésével vagy forgatásával.
Az
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
(
μ
,
ν
,
λ
)
{\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}
[ 1]
x
2
=
4
b
−
c
(
μ
−
b
)
(
b
−
ν
)
(
b
−
λ
)
{\displaystyle x^{2}={\frac {4}{b-c}}(\mu -b)(b-\nu )(b-\lambda )}
y
2
=
4
b
−
c
(
μ
−
c
)
(
c
−
ν
)
(
λ
−
c
)
{\displaystyle y^{2}={\frac {4}{b-c}}(\mu -c)(c-\nu )(\lambda -c)}
z
=
μ
+
ν
+
λ
−
b
−
c
{\displaystyle z=\mu +\nu +\lambda -b-c}
ahol
μ
>
b
>
λ
>
c
>
ν
>
0
{\displaystyle \mu >b>\lambda >c>\nu >0}
Következik, hogy a konstans
μ
{\displaystyle \mu }
x
2
μ
−
b
+
y
2
μ
−
c
=
−
4
(
z
−
μ
)
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{\mu -b}}+{\frac {y^{2}}{\mu -c}}=-4(z-\mu )}
a konstans
ν
{\displaystyle \nu }
x
2
b
−
ν
+
y
2
c
−
ν
=
4
(
z
−
ν
)
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{b-\nu }}+{\frac {y^{2}}{c-\nu }}=4(z-\nu )}
a konstans
λ
{\displaystyle \lambda }
x
2
b
−
λ
−
y
2
λ
−
c
=
4
(
z
−
λ
)
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{b-\lambda }}-{\frac {y^{2}}{\lambda -c}}=4(z-\lambda )}
A
(
μ
,
ν
,
λ
)
{\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}
[ 2]
h
μ
=
[
(
μ
−
ν
)
(
μ
−
λ
)
(
μ
−
b
)
(
μ
−
c
)
]
1
/
2
{\displaystyle h_{\mu }=\left[{\frac {\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}}\right]^{1/2}}
h
ν
=
[
(
μ
−
ν
)
(
λ
−
ν
)
(
b
−
ν
)
(
c
−
ν
)
]
1
/
2
{\displaystyle h_{\nu }=\left[{\frac {\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}}\right]^{1/2}}
h
λ
=
[
(
λ
−
ν
)
(
μ
−
λ
)
(
b
−
λ
)
(
λ
−
c
)
]
1
/
2
{\displaystyle h_{\lambda }=\left[{\frac {\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}}\right]^{1/2}}
így az infinitezimális térfogatelem
d
V
=
(
μ
−
ν
)
(
μ
−
λ
)
(
λ
−
ν
)
[
(
μ
−
b
)
(
μ
−
c
)
(
b
−
ν
)
(
c
−
ν
)
(
b
−
λ
)
(
λ
−
c
)
]
1
/
2
d
λ
d
μ
d
ν
{\displaystyle dV={\frac {(\mu -\nu )(\mu -\lambda )(\lambda -\nu )}{\left[(\mu -b)(\mu -c)(b-\nu )(c-\nu )(b-\lambda )(\lambda -c)\right]^{1/2}}}\ d\lambda d\mu d\nu }
A differenciáloperátorok kifejezhetők a
(
μ
,
ν
,
λ
)
{\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}
∇
=
[
(
μ
−
b
)
(
μ
−
c
)
(
μ
−
ν
)
(
μ
−
λ
)
]
1
/
2
e
μ
∂
∂
μ
+
[
(
b
−
ν
)
(
c
−
ν
)
(
μ
−
ν
)
(
λ
−
ν
)
]
1
/
2
e
ν
∂
∂
ν
+
[
(
b
−
λ
)
(
λ
−
c
)
(
λ
−
ν
)
(
μ
−
λ
)
]
1
/
2
e
λ
∂
∂
λ
{\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\mu }{\frac {\partial }{\partial \mu }}+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\nu }{\frac {\partial }{\partial \nu }}+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}}
és a Laplace-operátor:
∇
2
=
[
(
μ
−
b
)
(
μ
−
c
)
(
μ
−
ν
)
(
μ
−
λ
)
]
1
/
2
∂
∂
μ
[
(
μ
−
b
)
1
/
2
(
μ
−
c
)
1
/
2
∂
∂
μ
]
+
[
(
b
−
ν
)
(
c
−
ν
)
(
μ
−
ν
)
(
λ
−
ν
)
]
1
/
2
∂
∂
ν
[
(
b
−
ν
)
1
/
2
(
c
−
ν
)
1
/
2
∂
∂
ν
]
+
[
(
b
−
λ
)
(
λ
−
c
)
(
λ
−
ν
)
(
μ
−
λ
)
]
1
/
2
∂
∂
λ
[
(
b
−
λ
)
1
/
2
(
λ
−
c
)
1
/
2
∂
∂
λ
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}=&\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[(\mu -b)^{1/2}(\mu -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[(b-\nu )^{1/2}(c-\nu )^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[(b-\lambda )^{1/2}(\lambda -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\right]\end{aligned}}}
A paraboloid koordináta-rendszer hasznos bizonyos differenciálegyenletek megoldásához. Például a Laplace-egyenlet és a Helmholtz-egyenlet szeparábilis a paraboloid koordinátákban. Így a koordináta-rendszer használható paraboloid szimmetriájú rendszerekben, például amikor a peremfeltételek paraboloidszeleten vannak megadva.
A Helmholtz-egyenlet
(
∇
2
+
k
2
)
ψ
=
0
{\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\psi =0}
ψ
=
M
(
μ
)
N
(
ν
)
Λ
(
λ
)
{\displaystyle \psi =M(\mu )N(\nu )\Lambda (\lambda )}
[ 3]
(
μ
−
b
)
(
μ
−
c
)
d
2
M
d
μ
2
+
1
2
[
2
μ
−
(
b
+
c
)
]
d
M
d
μ
+
[
k
2
μ
2
+
α
3
μ
−
α
2
]
M
=
0
(
b
−
ν
)
(
c
−
ν
)
d
2
N
d
ν
2
+
1
2
[
2
ν
−
(
b
+
c
)
]
d
N
d
ν
+
[
k
2
ν
2
+
α
3
ν
−
α
2
]
N
=
0
(
b
−
λ
)
(
λ
−
c
)
d
2
Λ
d
λ
2
−
1
2
[
2
λ
−
(
b
+
c
)
]
d
Λ
d
λ
−
[
k
2
λ
2
+
α
3
λ
−
α
2
]
Λ
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&(\mu -b)(\mu -c){\frac {d^{2}M}{d\mu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\mu -(b+c)\right]{\frac {dM}{d\mu }}+\left[k^{2}\mu ^{2}+\alpha _{3}\mu -\alpha _{2}\right]M=0\\&(b-\nu )(c-\nu ){\frac {d^{2}N}{d\nu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\nu -(b+c)\right]{\frac {dN}{d\nu }}+\left[k^{2}\nu ^{2}+\alpha _{3}\nu -\alpha _{2}\right]N=0\\&(b-\lambda )(\lambda -c){\frac {d^{2}\Lambda }{d\lambda ^{2}}}-{\frac {1}{2}}\left[2\lambda -(b+c)\right]{\frac {d\Lambda }{d\lambda }}-\left[k^{2}\lambda ^{2}+\alpha _{3}\lambda -\alpha _{2}\right]\Lambda =0\\\end{aligned}}}
ahol
α
2
{\displaystyle \alpha _{2}}
α
3
{\displaystyle \alpha _{3}}
k
=
0
{\displaystyle k=0}
A leválasztott egyenletek mindegyike a Baer-egyenlet alakjára hozható. Azonban az egyenletek közvetlen megoldása nehézkes, mivel az
α
2
{\displaystyle \alpha _{2}}
α
3
{\displaystyle \alpha _{3}}
A fenti megközelítéssel a paraboloid koordináták használhatók egy paraboloid alakú vezető elektromos mezőjének megoldásához.[ 4]
↑ Yoon, LCLY & M, Willatzen (2011), Separable Boundary-Value Problems in Physics , Wiley-VCH, p. 217, ISBN 978-3-527-63492-7 ↑ Willatzen and Yoon (2011), p. 219
↑ Willatzen and Yoon (2011), p. 227
↑ Duggen, L; Willatzen, M & Voon, L C Lew Yan (2012), "Laplace boundary-value problem in paraboloidal coordinates ", European Journal of Physics 33 (3): 689--696, DOI 10.1088/0143-0807/33/3/689 Separable Boundary-Value Problems in Physics . Wiley-VCH (2011). ISBN 978-3-527-41020-0 Methods of Theoretical Physics, Part I 664 . o. (1953). ISBN 0-07-043316-X The Mathematics of Physics and Chemistry 184 –185. o. (1956) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers 180 . o.. ASIN B0000CKZX7 (1961) Arfken G. Mathematical Methods for Physicists , 2nd, Orlando, FL: Academic Press, 119–120. o. (1970) Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs 98 . o. (1967) Zwillinger D. Handbook of Integration . Boston, MA: Jones and Bartlett, 114. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9 u k k Paraboloidal Coordinates (μ, ν, λ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions , corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer-Verlag, 44–48 (Table 1.11). o. (1988). ISBN 978-0-387-18430-2 MathWorld Ez a szócikk részben vagy egészben a Paraboloidal coordinates
![{\displaystyle h_{\mu }=\left[{\frac {\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}}\right]^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaccb1084eddd2db984cf0b052ff7884a4b152b8)
![{\displaystyle h_{\nu }=\left[{\frac {\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}}\right]^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11790f76f35a6ab2b867f3b6729f669170c7ac23)
![{\displaystyle h_{\lambda }=\left[{\frac {\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}}\right]^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39eeb3023b903672606255a46487a7bc90d475f4)
![{\displaystyle dV={\frac {(\mu -\nu )(\mu -\lambda )(\lambda -\nu )}{\left[(\mu -b)(\mu -c)(b-\nu )(c-\nu )(b-\lambda )(\lambda -c)\right]^{1/2}}}\ d\lambda d\mu d\nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066e18ddd5cb9b5c58b4fa3dff4f30be027a0e79)
![{\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\mu }{\frac {\partial }{\partial \mu }}+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\nu }{\frac {\partial }{\partial \nu }}+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec6410a2adddb953e04da4b3aff0ccfbbc1f13ff)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}=&\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[(\mu -b)^{1/2}(\mu -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[(b-\nu )^{1/2}(c-\nu )^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[(b-\lambda )^{1/2}(\lambda -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95e090fef3dd36493eaa9d354a25b85a8159228)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(\mu -b)(\mu -c){\frac {d^{2}M}{d\mu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\mu -(b+c)\right]{\frac {dM}{d\mu }}+\left[k^{2}\mu ^{2}+\alpha _{3}\mu -\alpha _{2}\right]M=0\\&(b-\nu )(c-\nu ){\frac {d^{2}N}{d\nu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\nu -(b+c)\right]{\frac {dN}{d\nu }}+\left[k^{2}\nu ^{2}+\alpha _{3}\nu -\alpha _{2}\right]N=0\\&(b-\lambda )(\lambda -c){\frac {d^{2}\Lambda }{d\lambda ^{2}}}-{\frac {1}{2}}\left[2\lambda -(b+c)\right]{\frac {d\Lambda }{d\lambda }}-\left[k^{2}\lambda ^{2}+\alpha _{3}\lambda -\alpha _{2}\right]\Lambda =0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b8c185588e8144f23a48b138a5673c4ccbb85b)
