Osztálytestelmélet

Az osztálytestelmélet a matematika, azon belül az algebrai számelmélet egyik részterülete, ami bizonyos testek Abel-bővítéseinek leírásával foglalkozik. (Egy Abel-bővítés olyan Galois-bővítés, aminek a Galois-csoportja Abel-csoport.) A racionális számok esetében az Abel-bővítéseket a Kronecker–Weber-tétel írja le; az osztálytestelmélet egyik motivációja ennek kiterjesztése minden számtestre, azaz a racionális számok véges bővítéseire. Az elmélet részét képezik továbbá bizonyos reciprocitási tételek, amiket a kvadratikus reciprocitási tétel általánosításaiként is fel lehet fogni, bár az előbbi és utóbbi közötti kapcsolat elsőre nem magától értetődő.^[1]

A lokális osztálytestelmélet lokális testek Abel-bővítéseit vizsgálja; ebből a lokál-globál elven keresztül lehet eljutni a globális testek bővítéseit leíró globális osztálytestelmélethez. Ez a két eset, tehát a lokális illetve globális elmélet klasszikusnak tekinthető. Az elmélet bizonyos elemei kiterjeszthetők magasabb dimenziós lokális testekre: ez a magasabb osztálytestelmélet. Léteznek továbbá algebrai geometriai megfelelők is, ezekkel a geometriai osztálytestelmélet foglalkozik. Nem feltétlenül Abel-bővítések esetében az elmélet jelentősen bonyolultabbá válik: részben ezzel a kérdéssel foglalkozik a Langlands-elmélet.

Lokális osztálytestelmélet

A lokális osztálytestelmélet lokális testek Abel-bővítéseinek leírásával foglalkozik. Két fő tétele a reciprocitási tétel és az egzisztenciatétel. Ezek bizonyítása történhet az adott lokális test Tate-kohomológiájának vizsgálatán vagy a Lubin–Tate formális csoportok elméletén keresztül; ez a két bizonyítási mód egymástól független. A kohomologikus megközelítés előnye az absztrakt tárgyalásmód, a Lubin–Tate-féle megközelítés pedig valamivel explicitebb konstrukciót tesz lehetővé.

Reciprocitási tétel. Ha K egy lokális test, és L/K egy Abel-bővítés, akkor létezik egy

1\to N_{L/K}(L^{\times })\to K^{\times }\xrightarrow {(-,L/K)} \mathrm {Gal} (L/K)\to 1

rövid egzakt sorozat, ahol $N_{L/K}$ a norma, $(-,L/K)$ pedig az úgynevezett norma-maradékszimbólum.^[2] A norma-maradékszimbólum funktoriális.^[3]

A reciprocitási tétel tehát megad egy izomorfizmust az $L/K$ Abel-bővítés Galois-csoportja és a $K^{\times }/N_{L/K}(L^{\times })$ faktorcsoport között. Ezzel részben leírja a K lokális test Abel-bővítéseit, ugyanakkor nem válaszolja meg azt a kérdést, hogy mely csoportok állnak így elő. Erről szól a következő tétel:

Egzisztenciatétel. Az $L\mapsto N_{L/K}(L^{\times })$ leképezés egy tartalmazásváltó izomorfizmus a K lokális test Abel-bővítései és a K-beli normacsoportok hálói között.^[4] (A normacsoportok a $K^{\times }$ multiplikatív csoport azon részcsoportjai, amelyek $N_{F/K}(F^{\times })$ alakúak valamely $F/K$ normális bővítésre.)^[5] Egy normacsoportot tartalmazó részcsoport is normacsoport, és $K^{\times }$ normacsoportjai pontosan a véges indexű nyílt részcsoportok.^[6]

Globális osztálytestelmélet

A globális osztálytestelmélet a globális testek Abel-bővítéseit írja le. Az elmélet állításait technikai szempontból természetes a test idèle-eire vonatkozóan megfogalmazni. Emellett létezik az elméletnek egy klasszikus ideálelméleti megfogalmazása is: ez ugyan kevésbé természetes, viszont elemibb tárgyalásmódot tesz lehetővé.

Idèle-elméleti megközelítés

Ehhez a tárgyalásmódhoz először szükséges bevezetni az idèle osztálycsoport fogalmát. Ha K egy globális test és v a K egy helye, akkor jelölje K_v a v-nél vett teljessé tételt. Jelölje U_v a K_v egységcsoportját: nemarchimédeszi v esetén ez az értékelésgyűrű egységeinek ${\mathcal {O}}_{K_{v}}^{\times }$ csoportja, arkhimédeszi v-re pedig $K_{v}^{\times }$ . A K test idèlecsoportja a következő:

J_{K}=\left\{(\ldots ,x_{v},\ldots )\in \prod _{v}K_{v}^{\times }:x_{v}\in U_{v}{\text{ majdnem minden }}v{\text{-re}}\right\}

,

azaz J_K a $K_{v}^{\times }$ csoportok megszorított direkt szorzata az $U_{v}$ csoportokra nézve. A $K^{\times }\hookrightarrow K_{v}\times$ beágyazások indukálnak egy $K^{\times }\hookrightarrow J_{K}$ beágyazást; ennek képe a főidèlecsoportja. A C_K idèle osztálycsoport az ezzel vett hányadoscsoport, azaz $C_{K}=J_{K}/K^{\times }$ .^[7]

Reciprocitási tétel. Ha L/K globális testek egy Abel-bővítése, akkor az

1\to N_{L/K}(C_{L})\to C_{K}\xrightarrow {(-,L/K)} \mathrm {Gal} (L/K)\to 1

sorozat rövid egzakt, ahol $C_{L}$ illetve $C_{K}$ az L illetve K idèle osztálycsoportja.^[8] Az $(-,L/K)$ norma-maradékszimbólum funktoriális,^[9] és érvényes rá a Hasse-elv, azaz egyértelműen megfelel az L/K globális bővítéshez tartozó lokális bővítésekhez rendelt norma-maradékszimbólumok kollekciójának.^[10]

Egzisztenciatétel. Az $L\mapsto N_{L/K}(C_{L})$ egy tartalmazásváltó izomorfizmus a K globális test Abel-bővítései és a $C_{K}$ -beli normacsoportok hálói között.^[11] Az idèle osztálycsoport normacsoportjai pontosan a véges indexű zárt részcsoportok.^[12]

Ideálelméleti megközelítés

Ez a megközelítés a számtestek divizorainak fogalmát használja. A K számtest egy divizora egy egész ideál és arkhimédeszi helyek egy négyzetmentes szorzatának formális szorzata, azaz egy ${\mathfrak {M}}=\prod {\mathfrak {p}}_{i}^{e_{i}}\cdot \prod w_{j}$ szorzat, ahol ${\mathfrak {p}}_{i}$ prímideálok, e_i nemnegatív egészek és w_j különböző végtelen helyek; az egyes szorzatok akár üresek is lehetnek.^[13]

Egy ${\mathfrak {M}}$ divizor általánosított osztálycsoportja az $I_{\mathfrak {M}}/P_{\mathfrak {M}}$ hányadoscsoport. Itt $I_{\mathfrak {M}}$ az ${\mathfrak {M}}$ -hez relatív prím törtideálok Abel-csoportja,

P_{\mathfrak {M}}=\{\alpha {\mathcal {O}}_{K}:\forall i:\alpha -1\in {\mathfrak {p}}_{i}^{e_{i}},\forall w_{j}{\text{ valós}}:\alpha >0\}

,

azaz $P_{\mathfrak {M}}$ azon $\alpha {\mathcal {O}}_{K}$ törtideálokból álló részcsoport, amik kongruensek 1-gyel moduló ${\mathfrak {p}}_{i}^{e_{i}}$ , és $\alpha$ pozitív minden valós w_j-hez tartozó beágyazás alatt.^[14]

Reciprocitási tétel. Ha $L/K$ egy véges Abel-bővítés, akkor létezik a K testnek egy ${\mathfrak {f}}$ divizora (a minimális ilyen ${\mathfrak {f}}$ -et a bővítés kondoktorának nevezik), hogy

Egy véges vagy végtelen prím akkor és csak akkor ágazik el $L/K$ -ban, ha osztja ${\mathfrak {f}}$ -et.
Ha ${\mathfrak {M}}$ a K egy divizora és ${\mathfrak {f}}\mid {\mathfrak {M}}$ , akkor létezik $I_{\mathfrak {M}}$ -nek egy H részcsoportja úgy, hogy $P_{\mathfrak {M}}\subseteq H\subseteq I_{\mathfrak {M}}$ és $I_{\mathfrak {M}}/H\simeq \mathrm {Gal} (L/K)$ , ahol az izomorfizmust az úgynevezett Artin-leképezés adja meg. Sőt H konkrétan megadható mint $H=P_{\mathfrak {M}}N_{L/K}(I_{\mathfrak {M}}(L))$ .^[15]

Egzisztenciatétel. Ha ${\mathfrak {M}}$ a K egy divizora és H az $I_{\mathfrak {M}}$ egy részcsoportja úgy, hogy $P_{\mathfrak {M}}\subseteq H\subseteq I_{\mathfrak {M}}$ , akkor egyértelműen létezik egy $L/K$ Abel-bővítés, ami legfeljebb az ${\mathfrak {M}}$ -et osztó prímekben ágazik el, $H=P_{\mathfrak {M}}N_{L/K}(I_{\mathfrak {M}}(L))$ és $I_{\mathfrak {M}}/H\simeq \mathrm {Gal} (L/K)$ .^[16]

Magasabb osztálytestelmélet

A lokális test fogalma általánosítható a következőképpen. Emlékeztetőül, egy lokális test olyan diszkréten értékelt teljes test, aminek a maradékteste véges. Ezt az 1-dimenziós esetnek tekintve, a fogalom induktív módon általánosítható: egy n-dimenziós lokális test olyan diszkréten értékelt teljes test, aminek a maradékteste egy $n-1$ dimenziós lokális test. (Speciálisan a véges testek tekinthetők nulla dimenziós lokális testnek.)^[17]

A magasabb lokális osztálytestelméletben a test multiplikatív csoportjának szerepét az n-edik Milnor K-csoport veszi át. (Ez valóban kiterjeszti az egydimenziós esetet, mert egy test első Milnor K-csoportja a test multiplikatív csoportja.) Megfogalmazható mind a reciprocitási, mind az egzisztenciatétel általánosítása erre az esetre.^[18] Az elmélet alapjait egymástól függetlenül Kato és Parsin fektették le az 1970-es években.^[19]

Jegyzetek

↑ Neukirch III§8: „Von diesem Gesetz rührt auch die Bezeichnung „Reziprozitätsgesetz“, die auf den ersten Blick etwas seltsam erscheinen muss, da das Artinsche Reziprozitätsgesetz in seiner äußeren Form mit dem Gaußschen kaum mehr etwas zu tun zu haben scheint.”
↑ Neukirch II.5.9
↑ Neukirch II.5.10
↑ Neukirch II.6.1
↑ Neukirch p. 81
↑ Neukirch II.6.2
↑ Washington p. 404
↑ Neukirch III.6.13
↑ Neukirch p. 170
↑ Neukirch III.6.15
↑ Neukirch III.6.14
↑ Neukirch III.7.8
↑ Washington p. 396
↑ Washington p. 396
↑ Washington p. 398, Theorem 1
↑ Washington p. 398, Theorem 2
↑ Morrow 2.12
↑ Morrow §5.2
↑ Münster p. iii

Források

↑ KKS: Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa, Takeshi Saito. Number Theory 2 – Introduction to Class Field Theory, Translations of Mathematical Monographs (angol nyelven). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society (2005). ISBN 978-0-8218-1355-3
↑ Morrow: Matthew Morrow: An introduction to higher dimensional local fields and adeles. arXiv, 2012. DOI:10.48550/arXiv.1204.0586. (Hozzáférés: 2022. április 1.)
↑ Münster: szerk.: I. Fesenko; M. Kurihara: Invitation to higher local fields. Warwick: Geometry & Topology Publications. Hozzáférés ideje: 2022. április 1.
↑ Neukirch: Jürgen Neukirch. Klassenkörpertheorie, negyedik, Heidelberg: Springer-Verlag (2015. május 1.). ISBN 978-3-642-17324-0. Hozzáférés ideje: 2022. február 4.
↑ Washington: Lawrence C. Washington. Introduction to Cyclotomic Fields, 2., New York: Springer, 113–117, 269–277. o. (1997)
↑ Wyman 1972: B. F. Wyman: What is a Reciprocity Law? (angolul) The American Mathematical Monthly, LXXIX. évf. 6. sz. (1972) 571–586. o. doi

[1] Neukirch III§8: „Von diesem Gesetz rührt auch die Bezeichnung „Reziprozitätsgesetz“, die auf den ersten Blick etwas seltsam erscheinen muss, da das Artinsche Reziprozitätsgesetz in seiner äußeren Form mit dem Gaußschen kaum mehr etwas zu tun zu haben scheint.”

[2] Neukirch II.5.9

[3] Neukirch II.5.10

[4] Neukirch II.6.1

[5] Neukirch p. 81

[6] Neukirch II.6.2

[7] Washington p. 404

[8] Neukirch III.6.13

[9] Neukirch p. 170

[10] Neukirch III.6.15

[11] Neukirch III.6.14

[12] Neukirch III.7.8

[13] Washington p. 396

[14] Washington p. 396

[15] Washington p. 398, Theorem 1

[16] Washington p. 398, Theorem 2

[17] Morrow 2.12

[18] Morrow §5.2

[19] Münster p. iii

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]