Nilradikál

A nilradikál az algebrában egy kommutatív gyűrű nilpotens elemeiből álló ideálja. Nemkommutatív esetben ez a definíció különböző módokon általánosítható.

Kommutatív gyűrűk nilradikálja

Legyen $R$ egy kommutatív gyűrű. A nilradikál $R$ nilpotens elemeinek halmaza:

$\operatorname {nil} (R)=\{r\in R\mid \exists n\in \mathbb {Z} ,n\geq 1:\,r^{n}=1\}$

A binomiális tétel miatt bármely két nilpotens elem összege is nilpotens, és a kommutativitás miatt bármely elem nilpotens elemmel vett szorzata is nilpotens – következésképpen a nilradikál valóban ideál. A definíciót úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a nilradikál a $(0)$ ideál radikálja (ekkor automatikusan adódik, hogy maga is ideál).

Belátható, hogy a nilradikál megegyezik a gyűrű prímideáljainak metszetével (és így megegyezik a minimális ideálok metszetével is). Mivel minden maximális ideál prím, a maximális ideálok metszeteként kapott $\mathrm {J} (R)$ Jacobson-radikál tartalmazza a nilradikált. Egy gyűrűt Jacobson-gyűrűnek nevezünk, ha minden ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R$ prímideálra

$\operatorname {nil} (R/{\mathfrak {p}})=\mathrm {J} (R/{\mathfrak {p}})$.

Minden Artin-gyűrű Jacobson, és nilradikálja a gyűrű maximális nilpotens ideálja. Általában ha a nilradikál végesen generált (például mert a gyűrű Noether-gyűrű), akkor nilpotens.

Egy gyűrűt redukált gyűrűnek nevezünk, ha nincs nemnulla nilpotens eleme, azaz nilradikálja $(0)$. Tetszőleges $R$ kommutatív gyűrűre az

$R_{\mathrm {red} }=R/\operatorname {nil} (R)$

faktorgyűrű redukált.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Nilradical of a ring című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.