Navier–Stokes-egyenletek

A Navier–Stokes-egyenletek Claude Navier és George Gabriel Stokes állította fel folyékony anyagok mozgásának, áramlásának leírására. Ezekkel az egyenletekkel a szerzők Newton második törvényének az áramló folyékony anyagokra való alkalmazását tűzték ki célul, azt véve alapfeltételül, hogy az ilyen anyagokban fellépő feszültség két összetevőből: egy a folyékony anyag sebességgradiensével arányos diffúziós (vagyis egy a viszkozitást jellemző) kifejezés összetevőből és egy nyomás összetevőből áll.

Az egyenletek jelentősége az, hogy alkalmazhatjuk számos, mind elméleti, mind gyakorlati (gazdasági) jelentőségű fizikai feladat megfogalmazására és azokkal kapcsolatos jelenségek leírására. Így ezekkel leírhatjuk nemcsak az időjárást, a folyadékok csővezetékekben, (nem kör-keresztmetszetű) csatornákban vagy óceánokban előálló mozgását, hanem a levegő repülőgépek szárnyai körül észlelt áramlását is, sőt szilárd testek folyékony anyagokon keresztül, például csillagok galaxisokon belül leírt mozgását is. A Navier–Stokes-egyenleteket egyszerűsített formájukban nemcsak repülőgépek és gépjárművek, hanem elektromos erőművek megtervezésére, valamint az atmoszferikus szennyezés felmérésére is alkalmazhatjuk, sőt a véráramlás, valamint Maxwell egyenleteivel összekapcsolva a magnetohidrodinamika modelles tanulmányozására is.

A Navier–Stokes-egyenletek tiszta matematikai értelemben is fontosak. Különös tehát, hogy a széles körű alkalmazás ellenére a matematikusok eddig még nem találtak a háromdimenziós egyenleteket kielégítő megoldást. (Sőt, sem a megoldás létezése nincs bizonyítva, sem az, hogy ha a megoldás létezik, akkor sima.)

A Navier–Stokes-egyenletek úgynevezett „létezési és simasági” problémájának megoldását olyan nagy fontosságúra becsülik, hogy az amerikai Clay Mathematics Institute az „évezred hét legfontosabb matematikai problémái egyikének” nevezte el, és megoldója számára egymillió dolláros jutalomdíjat tűzött ki.

Mivel a Navier–Stokes-egyenletek nem helyzetet, hanem sebességet írnak le, a háromdimenziós egyenletek „sebességmezőt” vagy „folyásmezőt” ábrázolnak, ami az áramlási sebességet adja meg az idő függvényében az erőtér minden egyes pontjára, mihelyt a sebességmező-eloszlás leírására megoldást találtunk. A többi változó, vagyis az áramlási sebesség, illetve a folyadék-ellenállás térbeli eloszlása szintén meghatározható.

Ez a számítás nagyban különbözik a klasszikus mechanika által nyújtott módszertől, ahol nem az egyedi részecskék térbeli pontokhoz kapcsolt sebességének, hanem azok röppályájának vagy egy kontinuum elhajlásának a meghatározása a tipikus számítási feladat. Folyadékok esetében a sebességeloszlás meghatározása logikusabb.

Az egyenletek karakterizálása

Nemlineáris jelleg

A Navier–Stokes-egyenletek a gyakorlati esetek többségében nemlineáris parciális differenciálegyenletek, bár esetenként, például egydimenziós folyás és Stokes-folyás (vagy kúszó folyás) esetében lineárisra egyszerűsíthetők. A nemlinearitás miatt ilyen problémák az esetek többségében bonyolulttá, sőt megoldhatatlanná válnának, ami a Navier–Stokes-egyenletek alkalmazását turbulens folyás leírására és modellezésére elkerülhetetlenné teszi.

A nemlinearitás áramlási „gyorsulásból”, vagyis helyzetváltozással járó sebességváltozásból ered. Ezért az áramlás, legyen az lamináris, vagy turbulens, mindig jár nemlinearitással. A lamináris áramlás jó példája egy viszkózus folyadék (olaj) egy kis átmérőjű szűkülő fecskendőben való áthaladása. Ilyen esetek tanulmányozásával nyerhetünk egy megközelítő megoldást.

Turbulencia

A turbulencia számos mozgó folyadékban tapasztalt időben lezajló kaotikus jelenség. Az általános nézet az, hogy ez a folyadékrészecskék tehetetlenségének, vagyis azok időbeli konvekciós sebességváltozásának („gyorsulásának”) a következménye. Olyan folyás esetén, amikor a tehetetlenségi erő kis szerepet játszik a folyás lamináris és az, hogy ez a szerep milyen mértékben érvényesül, azt a Reynolds-szám alapján tudjuk megállapítani.

Ez: $Re={dv\rho \over \mu }$, vagyis a csatornaátmérő (d), az átlag folyadéksebesség (v) és a folyadéksűrűség (ρ) szorzata a folyadék viszkozitásával (μ) osztva.

Hogy a Navier–Stokes-egyenleteket használjuk turbulens folyadék mozgásának leírására az nem jelenti, hogy ez nem bonyolult: numerikus, iteratív (vagyis lépésről lépésre végzett) számítás használatához olyan apró növekményt kell választani, ami a komputálást igen lassúvá teszi (lásd en:direct numerical simulation, vagyis direkt numerikus szimuláció) egyszerű lamináris feltételekből kiinduló megközelítéses számítás pedig nem vezet megbízható eredményhez. Ennek elkerülésére a en:computational fluid dynamics (CFD) vagyis komputációs folyadék dinamika idő-átlagolt egyenleteket használ gyakorlati turbulens folyadék áramlási problémák megoldására. Ilyen számítás egyik példája a turbulencia-modellel (például a k-ε modellel) alátámasztott, Reynolds szám átlagolt Navier-Stokes-egyenlet, vagy RANS.

A Navier–Stokes-egyenletek turbulens esetre való alkalmazására hasonló a en:Large eddy simulation (L.E.S.) módszer, ami az előbbinél több időt és számítógép-memóriát igényel, de gyorsabb és megbízhatósága is nagyobb.

Használhatóság

A Navier–Stokes-egyenletek alkalmazása önmagukban nehézkes, de kisegítő összefüggésekkel (például az anyag megmaradásának elvének) együttes alkalmazásával, valamint jól kigondolt, helyesen felállított határértékek megválasztásával az egyenletek jó modellként szolgálhatnak folyadék mozgás leírására; számítási eredmények megegyeznek a gyakorlati megfigyeléssel még turbulens viszonyok esetében is.

A Navier–Stokes-egyenletek feltételezik, hogy a tanulmány alá vetett folyadék olyan kontinuum ami nem áramlik relativisztikus sebességgel; kicsinyített skálán, vagy szélsőséges körülmények között diszkrét molekulákból álló reális (más néven nem-ideális) folyadékok mozgására a Navier-Stokes egyenletek nem alkalmasak. Ezekre az esetekre a statisztikus mechanika, vagy a molekuláris dinamika tudományága szolgáltathat megoldást. Egy ilyen számítás a dimenziómentes Knudsen-szám értékét használja.

Az egyenleteknek másik korlátozó tényezője ezeknek a folyadék kémiai összetételétől függő bonyolultsága. Egyes folyadék-családokra kipróbált módszerek állnak rendelkezésre, más, ritkább esetekre egyáltalán nem használható. A kutatás jelenleg ezen a téren, a használhatóság kiterjesztésének problémáján folyik. A különleges komplikációk fellépte miatt az egyenleteket leggyakrabban en:Newtonian fluid, vagyis Newton-féle folyadékok esetében alkalmazzák; ilyen folyadékok tanulmányozása egyszerűbb, mert ezek viszkozitási modellje lineáris. Valódi nem Newton-féle esetre (pl. vérre) a 2010-es évben modell még nem létezik.

Levezetés és leírás

Elöljáróban megjegyzendő, hogy a „folyadék” kifejezésbe bármely folyékony anyagot beleértünk. A Navier–Stokes-egyenletek egy mozgó, áramló folyadék infinitezimális részét analizálják Newton második törvénye, vagyis az impulzus (momentum) megmaradásának törvénye alapján (teljességében az anyag illetve az energia megmaradásának törvényét is beleértve)

$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \mathbb {T} +\mathbf {f} ,$

ahol: $\mathbf {v}$ folyadék sebesség, $\rho$ folyadék sűrűség, p nyomás, $\mathbb {T}$ a (deviatorikus) feszültség tenzor, $\mathbf {f}$ a folyadék egységnyi köbtartalmára ható erő és $\nabla$ a nabla operátor. Ezt a kifejezést, ami Newton második törvényének nem-relativisztikus sebességgel haladó folyadék-kontinuumra való alkalmazása, Cauchy momentum egyenletének nevezzük.

Az egyenletet gyakran írják más formában, a Dv/Dt szubsztantív derivatív használatával,

ami jobban kifejezi, hogy ez Newton második törvényét írja le: $\rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-\nabla p+\nabla \cdot \mathbb {T} +\mathbf {f} .$

Az egyenlet bal oldala a gyorsulást, jobb oldala (a megfigyelés alá vetett infinitezimális folyadék-„darabkát” egy testnek tekintve) a testre ható erők (például a tehetetlenségi erő) valamint a feszültség- (nyomás és nyírófeszültség) változást fejezi ki.

Konvektív gyorsulás

Nagy a jelentősége annak, hogy a Navier–Stokes egyenletekbe a folyadéknak a térbeli, időtől független konvektív gyorsulása (sebességváltozása) is beletartozik. Ennek példája folyadék áramlás egy fecskendőben. A konvektív áramlás a nemlineáris $\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} ,$ kifejezéssel ábrázolható.

Ezt kétféleképpen értelmezhetjük: a) $(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {v}$, vagy b) $\mathbf {v} \cdot (\nabla \mathbf {v} )$,

ahol: $\nabla \mathbf {v}$ a $\mathbf {v}$ sebességvektor divergenciája.

Mindkét értelmezés ugyanahhoz az eredményhez vezet függetlenül attól, hogy milyen koordináta rendszert használunk azt feltételezve, hogy $\nabla$-t a kovariáns derivatív függvényeként van értelmezve.

Értelmezés (v•∇)v formájában

A konvekció összefüggését leggyakrabban a következő formában írjuk: $(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v}$,

a $\mathbf {v} \cdot \nabla$ advekciós operátor használatával, mert ez egyszerűbb mint a $\nabla \mathbf {v}$ tenzor függvényekénti ábrázolás.

Értelmezés v•(∇v) formájában

Ebben az esetben $\nabla \mathbf {v}$ a sebesség vektor tenzor deriváltja, ami Descartes-féle koordináta rendszerben nem más, mint a komponensekként vett grádiens. A konvekció kifejezését leírhatjuk tenzor derivált nélkül is egy skaláris szorzat gyanánt

$\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} =\nabla \left({\frac {\|\mathbf {v} \|^{2}}{2}}\right)+\left(\nabla \times \mathbf {v} \right)\times \mathbf {v} .$

Ez az értelmezési forma alkalmas nem-rotációs áramlás esetére, azaz ahol a sebességtér örvénymentes. Ez azt jelenti, hogy a rotációja (örvényessége vagy vorticitása) zérus, azaz $\omega =\nabla \times \mathbf {v} =0$.

A konvektív gyorsulás nemlineáris hatás függetlenül attól, hogy milyen folyadékról beszélünk. Ez az effektus jelen van csaknem minden áramlási probléma esetén egy-két kivétellel (amire példa az egydimenziós nem-kompresszibilis folyadék-áramlás) de a dinamikus hatás kúszó áramlás (Stokes-féle áramlás) esetében elhanyagolható.

Feszültség

A folyadék feszültség hatását a szilárd anyagokban a feszültség-tenzor izotróp részéből származó nyomás gradiensnek nevezett tenzor komponens a $\scriptstyle \nabla p$ feszültség megfelelője, azzal analóg $\scriptstyle \nabla p$ és $\scriptstyle \nabla \cdot \mathbb {T}$ felületi erő-gradiens összefüggések ábrázolják. Ilyen, normálisnak vett feszültség fellép majdnem minden esetben, legyen az dinamikus, vagy nem. A feszültség tenzor anizotropikus részéből jön az összenyomhatatlan folyadékok esetén pusztán nyíró feszültséget képviselő $\scriptstyle \nabla \cdot \mathbb {T}$ erő-hatás, ami a viszkózus, a folyadék viszkozitás hatásából származó ellenálló erőket képviseli. Itt $\scriptstyle \mathbb {T}$ a deviatorikus feszültség tenzor, a feszültség tenzor pedig $\sigma =-p\mathbb {I} +\mathbb {T}$, ahol $\scriptstyle \mathbb {I}$ a 3×3 azonossági mátrix (angolul: identity matrix). Megjegyzendő, hogy csak a nyomás gradiensnek van hatása, magának a nyomásnak nincs: a folyadék áramlás a nyomás csökkenés következménye, így annak irányát követi.

A „p” és a $\scriptstyle \mathbb {T}$ feszültség-kifejezés még ismeretlen, úgy, hogy gyakorlati problémák megoldására önmagukban általános formájukban az áramlási egyenleteket nem használhatjuk. Ehhez egy a feszültséget meghatározó a folyadék áramlására alkalmas erő-modellre is szükség van. Erre a feszültséget és a folyadék áramlást összekötő kapcsolat, Newton második törvénye szolgál:

Így a folyadék sajátságos tulajdonságát a számítás kezdete előtt, mint előfeltételeket kell tapasztalati adatokból meghatározni. Ezek segítségével a feszültséget a többi áramlási változók (sűrűség és sebesség) függvényeként meghatározhatjuk.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Navier–Stokes equations című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.