Modus ponens

A modus ponens, más néven a leválasztás szabálya a matematikában egy egyszerű bizonyítási módszer. Ennek alkalmazásával már bizonyított állításokból és tételekből következtethetünk újabb kijelentések igazságtartalmára.

A szabály

Legyen Γ valamely ítéletek összessége, ${\mathcal {A}}$ pedig ebből levezethető állítás. Ekkor ha ${\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}$ is levezethető (azaz igaz), akkor ${\mathcal {B}}$ szintén levezethető állítás.

Bizonyítás

Legyen az ${\mathcal {A}}$ levezetése az $({\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},{\mathcal {A}}_{3}\dots {\mathcal {A}}_{n})$ sorozat, ahol minden egyes tag vagy axióma, vagy pedig ${\mathcal {A}}_{j}\equiv {\mathcal {A}}_{i}\Rightarrow {\mathcal {A}}_{k},\,1\leq i,j<k$ következtetés. Hasonlóan az ${\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}$ levezetése a $({\mathcal {B}}_{1},{\mathcal {B}}_{2},{\mathcal {B}}_{3},\dots {\mathcal {B}}_{m})$. Ekkor ${\mathcal {B}}$ levezetése az $({\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},{\mathcal {A}}_{3},\dots {\mathcal {A}}_{n},{\mathcal {B}}_{1},{\mathcal {B}}_{2},{\mathcal {B}}_{3}\dots {\mathcal {B}}_{m},{\mathcal {B}})$, mivel ${\mathcal {B}}_{m}\equiv ({\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}})$.