Minkowski-egyenlőtlenség

A matematikai analízisben a Minkowski-egyenlőtlenség lényegében azt mutatja, hogy az L^p tér normált vektortér. Legyen S egy mértéktér, legyen 1 ≤ p ≤ ∞, és legyenek f és g az L^p(S) elemei. Ekkor f + g is L^p(S)-ben van, és a következőt kapjuk

$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$

egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha 1<p<∞, és f és g lineárisan függők.

A Minkowski-egyenlőtlenség nem más, mint a háromszög-egyenlőtlenség az L^p(S)-ben.

A Hölder-egyenlőtlenséghez hasonlóan, a Minkowski-egyenlőtlenséget f =(x₁, x₂, ...,x_n)-re és g=(y₁, y₂, ...,y_n)-re felírva, ha a p-normában a számlálómérték szerint integrálunk, sorozatokra és vektorokokra vonatkozó állítást kapunk:

$\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}$

ahol x₁, …, x_n, y₁, …, y_n tetszőleges valós vagy komplex számok.

Bizonyítás

Először bebizonyítjuk, hogy, ha f-nek és g-nek is van véges p-normája, akkor f+g-nek is, ami következik az alábbi egyenlőtlenségből:

$|f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p})$

Ez az egyenlőtlenség teljesül, felhasználva hogy $h(x)=x^{p}$ függvény a nemnegatív számokon konvex $\mathbb {R} ^{+}$-ben (feltéve, hogy p nagyobb mint egy), a konvexitás definícióját felírva, és alkalmazva a háromszög-egyenlőtlenséget:

$\left|{\frac {1}{2}}f+{\frac {1}{2}}g\right|^{p}\leq {\frac {1}{2}}|f|^{p}+{\frac {1}{2}}|g|^{p}$

Ez azt jelenti, hogy

$|f+g|^{p}\leq 2^{p-1}|f|^{p}+2^{p-1}|g|^{p}$

Most már jogosan beszélhetünk $(\|f+g\|_{p})$-ról. Ha ez nulla, akkor a Minkowski-egyenlőség teljesül. Most feltesszük, hogy $(\|f+g\|_{p})$ nem nulla. Felhasználva a Hölder-egyenlőtlenséget

$\|f+g\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu$

$\leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu$

$=\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu$

${\stackrel {{\text{H}}{\ddot {\text{o}}}{\text{lder}}}{\leq }}\left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}$

$=(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}$

Most már megkapjuk a Minkowski-egyenlőtlenséget, ha beszorozzuk mindkét oldalt ${\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}$-val.

További információk

• Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. and Pólya, G.. Inequalities, Reprint of the 1952 edition, Cambridge Mathematical Library, Cambridge: Cambridge University Press, xii+324. o. (1988). ISBN 0-521-35880-9 
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104