Martingale-módszer

A martingale-módszer egy szerencsejáték-stratégia, aminek során a játékos egyre növekvő tétekkel próbálja visszanyerni az eddigi veszteségeit. Eredetileg a 18. századi Franciaországban terjedt el egy egyszerű, pénzfeldobós szerencsejáték kapcsán; mára számos olyan játékban játsszák, ahol két egyforma valószínűségű kimenetelre lehet fogadni.

A stratégia abból áll, hogy a játékos mindig megduplázza a tétet. Mivel a nagy számok törvénye alapján előbb-utóbb nyernie kell, és az aktuális tét mindig kicsit nagyobb, mint az összes addig elvesztett tét együttvéve, az összesített eredményének előbb-utóbb pozitívnak kell lennie. Például ha kezdetben 1 egységben fogad, és csak tizedszerre nyer, akkor az első kilenc játék során 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512 = 1023 egységet veszít, a tizedik során azonban 1024-et nyer, így pluszba kerül. Ezután újból kezdheti egységnyi téttel, és így tovább.

Valójában a módszer csak akkor működne, ha a játékosnak végtelen sok pénze lenne, és bármilyen sokáig, és bármekkora tétekkel játszhatná a játékot. A valóságban előbb-utóbb bekövetkezik egy olyan hosszú vereségsorozat, ami alatt elfogy a pénze, vagy eléri a megengedett maximális feltehető összeget. Így a martingale-t játszók általában sok kis nyereség után egy katasztrofális veszteséggel fejezik be a játékot.

Matematikai megközelítés

A fent leírt stratégia (különösen megfelelő tálalásban) rendkívül vonzóan hangzik, sok internetes kaszinó játékra buzdító, „beetető” oldalán hivatkoznak rá mint a biztos nyerés lehetőségére. Valójában ez még a probléma rendkívül idealizált megközelítése esetén sem teljesül.

Vizsgáljuk meg a martingale-módszert például a francia rulett keretein belül! A feltevések a következők:

• A játékos előre eldönti, mekkora nyereménnyel a zsebében kívánja befejezni a játékot. Jelöljük ezt $C$-vel!
• A játékos a piros/fekete (vagy ezekkel megegyező nyerési esélyű) mezőkre rak. $C$ értékű téttel kezd. Valahányszor veszít, a következő körben megduplázza a tétet, amikor először nyer, kiszáll a játékból. Siker esetén pont $C$-vel lesz gazdagabb, hiszen ilyen mezőkön a nyeremény a felrakott tét duplája.
• A minimális tét (ha van), nem nagyobb $C$-nél, és egyéb tényezők (pl. időkorlát) sem zavarják meg a játékost, aki sosem tér el a stratégiától megrészegülve a kezdeti sikertől.
• A megrakható téteknek vélhetően van felső korlátja, de ha mégse, a játékos rendelkezésre álló vagyonának mindenképp. Jelöljük $M$-mel a maximálisan megjátszható összeget!

Az utolsó pont lényegében elkerülhetetlen, a kutya pedig itt van elásva.

Elsőként számoljuk ki, hány kör alatt merül ki a vagyonunk ($n$)!

$n=\left\lfloor \log _{2}\left({\frac {M}{C}}+1\right)\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\ln \left({\frac {M}{C}}+1\right)}{\ln 2}}\right\rfloor$

A kapcsos zárójel egészrészt jelent. Az $n$-t egyébként könnyű kézzel kiszámolni. Ha például 1000 Ft-ot akarunk nyerni, és a vagyonunk 50 000 Ft ($M=50000$, $C=1000$), akkor a feltett tétek vesztés esetén: $1000+2000+4000+8000+16\,000=31\,000$. Itt álljunk is meg, hiszen a hatodik körben 32 000-et kéne feltennünk, ez viszont már összesen 63 000 Ft-ot igényelne, ami meghaladja a keretet, ezért
$n=5$. Akármilyen meglepő, már öt környi balszerencse elegendő 31 000 Ft elvesztéséhez, hiszen nem tudunk újra duplázni.

Most, hogy megvan, hány peches kör vezet a csődhöz, számoljuk ki, mekkora valószínűséggel fog ez megtörténni, illetve hogy mekkora összeget vesztünk ekkor. Jelöljük $p$-vel annak a valószínűségét, hogy nyerünk egy körben. Ez még a piros/fekete mezők esetében sem 50%, hiszen a 18-18 piros ill. fekete szám mellett a 0 mindig veszít. Ezért esetünkben

$p={\frac {18}{37}}\approx 48,65\%$.

Annak a valószínűsége, hogy $n$ körön át veszítünk ($L$):

$L=\left(1-p\right)^{n}=\left({\frac {19}{37}}\right)^{n}$,

és eddigre az összes elvesztett pénz:

$A=C\left(2^{n}-1\right)$.

Ezen adatok ismeretében ki lehet számolni a nyeremény várható értékét:

$E=C\left(1-2^{n}L\right)\quad =\quad C\left(1-\left(2-2p\right)^{n}\right)\quad =\quad C\left(1-\left({\frac {38}{37}}\right)^{n}\right)$.

Az utolsó formából látszik, hogy mivel $38/37>1$, a várható érték mindig negatív (esetleg 0) lesz.

Egy példa

Legyen $M=750$ € költőpénzünk, $C$ pedig 20 €!

Hány vesztes kör alatt esnénk ki?

$n=\left\lfloor {\frac {\ln \left({\frac {750}{20}}+1\right)}{\ln 2}}\right\rfloor =\left\lfloor 5{,}266\right\rfloor =5$.

A kiesés valószínűsége és a bukott pénzösszeg:

$L=\left({\frac {19}{37}}\right)^{5}=0{,}0357=3{,}57\%,\qquad A=20\cdot \left(2^{5}-1\right)=620$ €.

A 3,57% azt jelenti, hogy várhatóan minden 28 próbálkozásból egyszer elveszítenénk a 620 €-t, a maradék 27 esetben pedig nyernénk 20 €-t. $\left(100/3,57\approx 28\right)$.

Ezért a nyeremény várható értéke alkalmanként

$E=20\cdot \left(1-\left({\frac {38}{37}}\right)^{5}\right)=-2,85$ €,

azaz 2,85 € veszteség. Mivel szerencsétlen kimenetel valószínűsége ($L$) viszonylag nagy, itt a várható veszteség már kevés játék után is érezteti hatását. Leginkább kockázatkedvelő szerencsevadászoknak ajánlható.

Némileg módosul a helyzet, ha mondjuk félmilliós vagyon mellett csak 1 €-t célzunk meg. Ekkor $L$ lényegesen kisebb (kb. 0,0006%), ezért nagy valószínűséggel sosem fogjuk a 262 ezer eurós veszteséget elszenvedni. Más kérdés, hogy ez az összeg 6%-os kamat mellett többet kamatozna egy bankban, még ha az év minden napján 80 alkalommal játszanánk is (vereség nélkül). Most vizsgáljuk meg a kaszinó nézőpontját: ebben az esetben is várhatóan minden 162 205 próbálkozás során veszíteni fog valaki 262 143 eurót, és ennyi kör talán fél éven belül le is játszódik. Ekkor a kaszinó beszedi a 262 ezer €-t, ebből kifizeti a maradék 162 ezer játékos nyereményét, ezen felül pedig marad 100 000 € bevétele.