Majoráns kritérium

A Cauchy-kritérium megadja a numerikus sorok konvergenciájának pontos feltételét, azonban a gyakorlatban ritkán használható, mert nehéz ellenőrizni. Ezért szükség van egyszerűbben ellenőrizhető kritériumokra is. Ilyen a majoráns kritérium is.

Majoráns kritérium: Tegyük fel, hogy a $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ és $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ végtelen sorok tagjaira minden elég nagy n esetén fennáll $|a_{n}|\leq b_{n}$. Ha a $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ sor konvergens, akkor $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ abszolút konvergens.

Bizonyítás: Véges sok tag megváltoztatása nem befolyásolja a sorok konvergenciáját, ezért feltehetjük, hogy $|a_{n}|\leq b_{n}$ minden n-re teljesül. Ebből következik, hogy a $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ sor részletösszegei nem nagyobbak $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ megfelelő részletösszegeinél. Az utóbbiak sorozata felülről korlátos, hiszen $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ konvergens. Így a $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ sor részletösszegeinek sorozata is felülről korlátos, tehát a monoton konvergencia tétel szerint a sor részösszegeinek sorozata konvergens, vagyis a sor definíció szerint konvergens.

Források

• Laczkovich Miklós – T. Sós Vera: Analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007) ISBN 978-963-19-6084-6
• Császár Ákos: Valós analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 1999) ISBN 963-190-114-9

Kapcsolódó szócikkek

• Hányadoskritérium
• Gyökkritérium