Hasse-elv

Helmut Hasse lokális-globális elve, azaz a Hasse-elv az algebrai számelmélet területén az az elképzelés, mely szerint egy egyenlet egész megoldásai megtalálhatók oly módon, hogy a kínai maradéktétel segítségével összefűzzük a megoldásokat modulo minden prímszámhatványra nézve. Ez úgy történik, hogy megvizsgáljuk az egyenletet a racionális számok testének teljessé tételeire nézve, tehát a valós számokra és a p-adikus számokra minden p prímre. A Hasse-elv formálisabb verziójának megfogalmazása szerint bizonyos fajta egyenleteknek akkor és csak akkor van racionális megoldása, ha van megoldásuk a valós számokon és megoldhatók a p-adikus számokon minden p prímre.

A lokális-globális elv teljesül például a kvadratikus alakokból származó egyenletekre, de nem teljesül a magasabb fokú, többhatározatlanú polinomokra.

Intuíció

Tekintsünk egy racionális együtthatós polinomot. Ha létezik racionális megoldása, akkor kell lennie valós és p-adikus számkörbeli megoldásának is, hiszen ezek tartalmazzák a racionális számokat; egy globális megoldás minden prímre lokális megoldásokat is ad. A Hasse-elv azt vizsgálja, mikor tehető meg ennek az ellenkezője, pontosabban, mi akadálya, hogy megfordítsuk a folyamatot: mikor vehetők egybe a valós számokon és a p-adikus számokon kapott megoldások, hogy a racionális számok körébe tartozó megoldást kapjunk, azaz, mikor egyesíthetők a lokális megoldások egy globális megoldássá?

A kérdés feltehető más gyűrűkre vagy testekre nézve is.

Kapcsolódó szócikkek

• Lokális analízis
• Grunwald–Wang-tétel
• Grothendieck–Katz-sejtés

Források

• Chernousov, V. I. (1989), "The Hasse principle for groups of type E8", Soviet Math. Dokl. 39: 592–596
• Kneser, Martin (1966), "Hasse principle for H¹ of simply connected groups", Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965), Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 159–163, MR0220736
• Serge Lang. Survey of Diophantine geometry. Springer-Verlag, 250–258. o. (1997). ISBN 3-540-61223-8 
• Alexei Skorobogatov. Torsors and rational points, Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1–7,112. o. (2001). ISBN 0-521-80237-7 

További információk

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Hasse principle", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• PlanetMath article Archiválva 2004. március 13-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Swinnerton-Dyer, Diophantine Equations: Progress and Problems, online notes
• https://web.archive.org/web/20140503132428/https://www.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_mat/2013/bognar_barna.pdf