Lissajous-görbe

Papírra homokkal kirajzolt Lissajous-görbe

A Lissajous-görbéket egymásra merőleges rezgések által kijelölt síkgörbék. A görbéket Jules Antoine Lissajous írta le 1857-ben.

A Lissajous-görbék meglehetősen ismertek, mivel igen látványos és egyszerűen előállítható alakzatok, így akár díszítőelem funkciót is betölthetnek.

Leírás

Lissajous-görbék a fáziseltérés és a frekvencia-arányok szerint

A görbéket két, egymásra merőleges rezgés eredőjeként kapjuk. Elképzelhető ugyan más szöget bezáró mozgás is, azonban ezek is mindig felbonthatóak merőleges és párhuzamos komponensekre.

A görbék paraméteres alakja:

${\begin{aligned}x(t)&=a_{1}\cdot \sin(\alpha _{1}t+\varphi )\\y(t)&=a_{2}\cdot \sin(\alpha _{2}t)\end{aligned}}$

A Lissajous-görbék egy téglalapot töltenek ki, aminek oldalhosszai a rezgések amplitúdója. A téglalapok oldalait érinti, az érintési pontok számának aránya a frekvenciák arányával egyenlő. Ennek következménye, hogy ha a két frekvencia aránya irracionális, a görbe a téglalapot kitölti. Másképpen fogalmazva a görbe periodikus függvény, ha a frekvenciák aránya racionális, és nem periodikus, ha irracionális szám.

Maga a görbe elképzelhető úgy is, hogy egy hengerfelületre írunk szinuszhullámot, és ezt a koordináta-rendszerbe vetítjük. A fázisszög a henger adott szögű elforgatásával egyenértékű, a henger magassága és átmérője az amplitúdókkal egyenlő, a hullám frekvenciája pedig a rezgések frekvenciájának arányával egyezik meg.

A legegyszerűbb eset

Ha a két frekvencia egyenlő, akkor a görbe vizsgálata egyszerű módszerekkel elvégezhető.

1. Ha $\varphi =0$, akkor ${\frac {x}{a_{1}}}={\frac {y}{a_{2}}}$, azaz a görbe egyenes, méghozzá az $a_{1}$ és $a_{2}$ oldalú téglalap átlója.
2. Ha $\varphi ={\frac {\pi }{2}}$, akkor a szögfüggvények közötti összefüggéseket figyelembe véve kapjuk, hogy

${\begin{aligned}{\frac {x}{a_{1}}}&=\cos(\alpha t)\\{\frac {y}{a_{2}}}&=\sin(\alpha t)\end{aligned}}$.

Innen a Pitagorasz-tételt alkalmazva a görbe egyenlete az

$\left({\frac {x}{a_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{a_{2}}}\right)^{2}=1$

alakot ölti. Ez pontosan az ellipszis egyenlete.

Némileg bonyolultabb belátni, hogy ha $\varphi =\pm {\frac {\pi }{4}}$, akkor a görbe egy olyan ellipszis, amelynek a nagytengelye az $a_{1};a_{2}$ oldalú téglalp átmérőjén fekszik. Ehhez a másodrendű görbék ismerete szükséges.

Az összetettebb esetekben már mélyebb matematikai ismeretekre van szükség, ezeket itt nem részletezzük.

Alkalmazások

Az Australian Broadcasting Corporation logója is egy Lissajous-görbe

A Lissajous-görbéket a harmonográf használata során alkalmazzuk. Ekkor harmonikus rezgőmozgásokat az általuk létrehozott rajzok segítségével elemzünk. Ha egy ismeretlen rezgést egy rá merőleges másik rezgéssel összekapcsolunk, a kirajzolt ábra alapján a paramétereit meg tudjuk határozni.

Egyes esetekben logóként is alkalmazzák a Lissajous-görbéket, mivel látványos, ugyanakkor egyszerű alakzatok. Ilyen például az Australian Broadcasting Corporation emblémája.