Lipschitz-féle konvergenciakritérium

A Lipschitz-féle kritérium a valós analízis egyik konvergenciakritériuma, a Dini-féle konvergenciakritérium speciális esete. Legyen $f$ egy valós függvény, és legyen $\varphi _{x}(t)=f(x-t)+f(x+t)-2f(x)$. Ha valamely $x$-re a $t=0$ kis környezetében

$\vert \varphi _{x}(t)\vert \leq c\vert {t}\vert ^{\alpha }\qquad \left(0<\alpha \leq 1\right)$,

akkor $s_{n}(x)\rightarrow f(x).$
Ha az $f(x)$ függvénynek az $x$ pontban a jobb és bal oldali határértékei léteznek, akkor a Dini-kritérium teljesülésének nyilván szükséges feltétele, hogy az $x$ pontban a függvény értéke e két határérték számtani közepe legyen:

$f(x)={\frac {1}{2}}\left[f(x+0)+f(x-0)\right].$

Ha ez igaz, akkor a Lipschitz-kritérium $\alpha =1$ kitevő esetén így írható:

$\left|{\frac {f(x+t)-f(x+0)}{t}}+{\frac {f(x-t)-f(x-0)}{t}}\right|<c.$

ez a feltétel pedig biztosan teljesül, ha a

$\lim _{t->+0}{\frac {f(x+t)-f(x+0)}{t}},\qquad \lim _{t->+0}{\frac {f(x-t)-f(x-0)}{t}}$

határértékek léteznek. Érvényes tehát a következő állítás: Az $f(x)$ függvény Fourier-sora minden olyan $x$ helyen az

${\frac {1}{2}}\left[f(x+0)+f(x-0)\right]$

értékhez tart, amelyben az $f(x+0),\ f(x-0)$ és a fenti határértékek léteznek.
Speciálisan: Az $f(x)$ függvény Fourier-sora minden olyan helyen $f(x)$-hez tart, ahol $f(x)$ differenciálható.

Források

• Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok (1954).