A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Lévy-eloszlás olyan folytonos valószínűség-eloszlás , mely nem negatív valószínűségi változókra érvényes.
Az eloszlás Paul Pierre Lévy francia matematikusról kapta a nevét.
A Lévy-eloszlás az inverz gamma-eloszlás speciális esete.
A Lévy-eloszlás azon kevés eloszlások közé tartozik, melyeket stabil eloszlásnak neveznek.
Ilyenek még a normális eloszlás , és a Cauchy-eloszlás , melyeknek általában nincs analitikusan kifejezhető valószínűség sűrűségfüggvényük.
Sűrűségfüggvény különböző c-kre Geomágneses jelenségek közel Lévy-eloszlást követnek
A Brown mozgáskor egy pont Lévy-eloszlás szerint mozog
Zavaros közegben egy foton pályája Lévy-eloszlást mutat[ 1] A sűrűségfüggvény a
x
≥
μ
{\displaystyle x\geq \mu }
f
(
x
;
μ
,
c
)
=
c
2
π
e
−
c
2
(
x
−
μ
)
(
x
−
μ
)
3
/
2
{\displaystyle f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}}}
ahol
μ
{\displaystyle \mu }
c
{\displaystyle c}
F
(
x
;
μ
,
c
)
=
erfc
(
c
2
(
x
−
μ
)
)
{\displaystyle F(x;\mu ,c)={\textrm {erfc}}\left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)}
ahol
erfc
(
z
)
{\displaystyle {\textrm {erfc}}(z)}
A
μ
{\displaystyle \mu }
μ
{\displaystyle \mu }
f
(
x
;
μ
,
c
)
d
x
=
f
(
y
;
0
,
1
)
d
y
{\displaystyle f(x;\mu ,c)dx=f(y;0,1)dy\,}
ahol y :
y
=
x
−
μ
c
{\displaystyle y={\frac {x-\mu }{c}}\,}
A karakterisztikus függvény:
φ
(
t
;
μ
,
c
)
=
e
i
μ
t
−
−
2
i
c
t
.
{\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}.}
A stabil eloszlásoknál a karakterisztikus függvényt
α
=
1
/
2
{\displaystyle \alpha =1/2}
β
=
1
{\displaystyle \beta =1}
φ
(
t
;
μ
,
c
)
=
e
i
μ
t
−
|
c
t
|
1
/
2
(
1
−
i
sign
(
t
)
)
.
{\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}~(1-i~{\textrm {sign}}(t))}.}
Feltételezve, hogy a
μ
=
0
{\displaystyle \mu =0}
n ik momentum az eltolatlan Lévy-eloszlásnál:
m
n
=
d
e
f
c
2
π
∫
0
∞
e
−
c
/
2
x
x
n
x
3
/
2
d
x
{\displaystyle m_{n}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x}\,x^{n}}{x^{3/2}}}\,dx}
mely divergál minden n > 0 esetében, így a Lévy-eloszlás momentumai nem léteznek.
A momentum generáló függvény:
M
(
t
;
c
)
=
d
e
f
c
2
π
∫
0
∞
e
−
c
/
2
x
+
t
x
x
3
/
2
d
x
{\displaystyle M(t;c)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}}\,dx}
mely t>0-nál divergál, ezért nem definiálható zéró közeli tartományokban, és ezért nem definiálható saját magában.
Mint minden stabil eloszlásnál, kivéve a normális eloszlást, a sűrűségfüggvény “szárnyai” viselkedése:
lim
x
→
∞
f
(
x
;
μ
,
c
)
=
c
2
π
1
x
3
/
2
.
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~{\frac {1}{x^{3/2}}}.}
Ezt az alábbi ábra mutatja, ahol a sűrűségfüggvény látható különböző c és
μ
=
0
{\displaystyle \mu =0}
Sűrűségfüggvény különböző c értékeknél Ha
X
∼
Levy
(
μ
,
c
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {Levy}}(\mu ,c)\,}
k
X
+
b
∼
Levy
(
k
μ
+
b
,
k
c
)
{\displaystyle kX+b\sim {\textrm {Levy}}(k\mu +b,kc)\,}
Ha
X
∼
Levy
(
0
,
c
)
{\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(0,c)}
X
∼
Inv-Gamma
(
1
2
,
c
2
)
{\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})}
inverz gamma eloszlás )
A Lévy-eloszlás 5. tipusú Pearson-eloszlás
Ha
Y
∼
Normal
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle Y\,\sim \,{\textrm {Normal}}(\mu ,\sigma ^{2})}
Normális eloszlás ), akkor
(
Y
−
μ
)
−
2
∼
Levy
(
0
,
1
/
σ
2
)
{\displaystyle {(Y-\mu )}^{-2}\sim \,{\textrm {Levy}}(0,1/\sigma ^{2})}
Ha
X
∼
Normal
(
μ
,
1
σ
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {Normal}}(\mu ,{\tfrac {1}{\sqrt {\sigma }}})\,}
(
X
−
μ
)
−
2
∼
Levy
(
0
,
σ
)
{\displaystyle {(X-\mu )}^{-2}\sim {\textrm {Levy}}(0,\sigma )\,}
Ha
X
∼
Levy
(
μ
,
c
)
{\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(\mu ,c)}
X
∼
Stable
(
1
/
2
,
1
,
c
,
μ
)
{\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Stable}}(1/2,1,c,\mu )\,}
Stabil eloszlás )
Ha
X
∼
Levy
(
0
,
c
)
{\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(0,c)}
X
∼
Scale-inv-
χ
2
(
1
,
c
)
{\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Scale-inv-}}\chi ^{2}(1,c)}
Skálázott inverz khí-négyzet eloszlás )
Ha
X
∼
Levy
(
μ
,
c
)
{\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(\mu ,c)}
(
X
−
μ
)
−
1
2
∼
FoldedNormal
(
0
,
1
/
c
)
{\displaystyle {(X-\mu )}^{-{\tfrac {1}{2}}}\sim \,{\textrm {FoldedNormal}}(0,1/{\sqrt {c}})}
Féloldalas normális eloszlás ) Tartomány =
x
∈
[
μ
,
∞
)
{\displaystyle x\in [\mu ,\infty )}
Sűrűségfüggvény =
c
2
π
e
−
c
2
(
x
−
μ
)
(
x
−
μ
)
3
/
2
{\displaystyle {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}}}
Kumulatív eloszlás f. =
erfc
(
c
2
(
x
−
μ
)
)
{\displaystyle {\textrm {erfc}}\left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)}
Várható érték =
∞
{\displaystyle \infty }
Medián =
c
/
2
(
erfc
−
1
(
1
/
2
)
)
2
{\displaystyle c/2({\textrm {erfc}}^{-1}(1/2))^{2}\,}
μ
=
0
{\displaystyle \mu =0}
Módusz =
c
3
{\displaystyle {\frac {c}{3}}}
μ
=
0
{\displaystyle \mu =0}
Szórásnégyzet =
∞
{\displaystyle \infty }
Ferdeség =nem definiált
Lapultság = nem definiált
Entrópia =
1
+
3
γ
+
ln
(
16
π
c
2
)
2
{\displaystyle {\frac {1+3\gamma +\ln(16\pi c^{2})}{2}}}
ahol
γ
{\displaystyle \gamma }
Euler-állandó
Momentgeneráló függvény = nem definiált
Karakterisztikus függvény=
e
i
μ
t
−
−
2
i
c
t
{\displaystyle e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}}
1. * Rogers, Geoffrey L: Multiple path analysis of reflectance from turbid media. (hely nélkül): Journal of the Optical Society of America A, 25:11. 2008. 2879–2883. o.
↑ Rogers, Geoffrey L, Multiple path analysis of reflectance from turbid media. Journal of the Optical Society of America A, 25 :11, p 2879-2883 (2008).
