Komplementer tér

Egy komplementer tér a lineáris algebrában egy vektortér lehetőleg nagy altere, aminek egy adott altérrel vett metszete a nulltér. Ezzel a vektorteret a megadott altér és komplementer tere két, egymással független részre osztja.

Altér komplementer tere

Definíció

Legyen $V$ vektortér a $K$ test fölött, és legyen $U$ altér $V$-ben. Ekkor egy $W$ altér az $U$ altér komplementer tere, ha:

• $U\cap W=\{0\}$

és

• $U+W=V$.

Itt $\{0\}$ a nulltér, és $U+W$ az

$\{u+w\mid u\in U,w\in W\}$

rövidítése.

Tulajdonságok

• Azt is mondják, hogy $V$ $U$ és $W$ belső direkt összege, és úgy írják, hogy $V=U\oplus W$.
• Ha $U,W$ alterek $V$-ben, és külső direkt összegük $U\oplus W$, akkor a

$U\oplus W\to V,\quad (u,w)\mapsto u+w$

homomorfizmus pontosan akkor izomorfizmus, ha $U$ és $W$ komplementerek, vagyis $V$ $U$ és $W$ direkt összege.

• Egy $V$ tér $U$ alteréhez mindig van komplementer altér. Ez a bázis kiegészítési tételből következik. Ez a komplementer általában nem egyértelmű.
• $W$ pontosan akkor komplementer tere $U$-nak $V$-ben, ha minden $v\in V$ vektor egyértelműen felbontható

$v=u+w$

összegre, ahol $u\in U$ és $w\in W$.

• Az alterek dimenziójára:

$\dim V=\dim U+\dim W.$

• A $W$ komplementer tér dimenzióját $U$ $V$-beli kodimenziójának nevezik.
• Ha $W$ $U$ komplementere, akkor $U$ komplementere $W$-nek.
• A $V\to V/U$ kanonikus projekció korlátozása $W$-re izomorfizmus, lásd faktortér.

Összefüggés a vetítésekkel

Legyen $U$ altér a $V$ vektortérben.

Ha $W$ komplementer tér $U$-hoz, akkor minden fenti $V$-beli $v$ vektor egyértelműen felírható $v=u+w$ összegként úgy, hogy $u\in U$ és $w\in W$. Ekkor $P_{W}\colon V\rightarrow V,v=u+w\mapsto u$ vetítés, melynek képe $\operatorname {im} P_{W}=U$ és magja $\operatorname {ker} P_{W}=W$.

Megfordítva, ha $P\colon V\rightarrow V$ egy vetítés, melynek képtere $U$, akkor $\operatorname {ker} P$ magtere $U$ komplementer tere.

Ezzel a módszerrel bijekciót kapunk $U$ komplementer terei és az $U$ képterű $V$-n értelmezett vetítések között. Az $U$ képű vetítések affin teret alkotnak a $\operatorname {Hom} (V/U,U)\subset \operatorname {Hom} (V,V)$ fölött.

Példa

Minden $W_{a}$ altér az $U$ altér komplementer tere

Tekintsük az $U:=\{(0,y);\,y\in \mathbb {R} \}\subset V=\mathbb {R} ^{2}$ alteret (az ábrán alkalmazott jelölésekkel). Legyen minden $a$ valós számhoz $W_{a}$ az origón átmenő $a$ meredekségű egyenes. Egy ilyen $W_{a}$ altér egy $U$-hoz komplementer altér $V$-ben. A hozzá tartozó vetítés ábrázoló mátrixa $P_{a}={\begin{pmatrix}0&0\\-a&1\end{pmatrix}}$. A mátrixábrázolásból azonnal látható, hogy a képtér $U$, mivel a mátrix első sora nulla. A $P_{a}$ vetítés magja $W_{a}$, mivel abból, hogy $P_{a}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ következik, hogy ${\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\-a&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-ax+y\end{pmatrix}}$, ami azt jelenti, hogy a mag a ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ pontokból áll, ahol $y=ax$, ami éppen az origón átmenő $a$ meredekségű egyenes.

Ortogonális komplementer

Legyen $V$ vektortér a $K$ test fölött, és adva legyen egy $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ szimmetrikus vagy alternáló bilineáris forma, vagy hermitikus szeszkvilineáris forma. Egy $U\subseteq V$ altérhez az

$U^{\perp }:=\{v\in V\mid \forall u\in U:\langle u,v\rangle =0\}$

altér $U$ ortogonális komplementer tere $V$-ben. Ez általában nem $U$ kiegészítő altere a fenti értelemben. A dualitástétel szerint, ha $V$ véges és $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ nem fajul el $V$-n és $U$-n, akkor $V=U\oplus U^{\bot }$.

A legutolsó tulajdonságot valós vagy komplex vektortereken a skalárszorzat mindig teljesíti.

Ha $V$ Hilbert-tér, akkor egy $U$ altér ortogonális komplementere megegyezik ${\bar {U}}$ lezártjának komplementerével, azaz

$V={\bar {U}}\oplus U^{\perp }$,

ahol $\oplus$ belső ortogonális összeg. Az ortogonális komplementer mindig zárt, és

$(U^{\perp })^{\perp }={\bar {U}}$.

Komplementerek Banach-terekben

Legyen $V$ teljes normált tér, azaz Banach-tér, és legyen $U$ zárt altér, amihez létezik egy $W$ zárt altér, úgy, hogy $V$ és $U\oplus W$ algebrailag izomorfak, akkor az $U\oplus W\rightarrow V,\,(u,w)\mapsto u+w$ által definiált izomorfizmus topologikus izomorfizmus. Ez azt jelenti, hogy a leképezés és inverze is folytonos.

Banach-terekben a zárt altereknek a fentiek szerint van komplementer terük, de ez nem jelenti azt, hogy a komplementer altér is zárt. Ez inkább a Hilbert-terek topologikus vektortér-struktúrájának jellemzése, ahol mindig van ortogonális komplementer, lásd a Lindenstrauss–Tzafriri-tételt: Egy Banach-tér pontosan akkor folytonosan izomorf egy Hilbert-térrel, ha minden zárt alteréhez van zárt komplementer tér.

A komplementer terekre teljesül Sobczyk következő tétele: Egy szeparábilis Banach-tér c₀ sorozattérhez izomorf alterének mindig van zárt altere.

Nem feltétlenül szeparábilis esetben ez nem feltétlenül teljesül: Található a $c_{0}\subset \ell ^{\infty }$ térrel izomorf altér, aminek nincs zárt komplementer altere.