Kerületi és középponti szögek tétele

A kerületi és középponti szögek tétele egy geometriai tétel, mely kimondja, hogy adott körben adott ívhez tartozó kerületi szög mindig fele az ívhez tartozó középponti szögnek. Más megfogalmazásban: Adott körben adott ívhez tartozó középponti szög mindig kétszerese az ívhez tartozó kerületi szögnek. A tételből következményként adódik a Thalész-tétel.

Bizonyítása

A tételt hat alesetre bontva bizonyítjuk.

I. eset

A középponti szög egyik szára illeszkedik a – nem érintő szárú – kerületi szög egyik szárára.

Legyen az adott kerületi szög a továbbiakban $\alpha$ , a középponti szög pedig $\omega$ . Az ábrán látható $BCO$ háromszög egyenlő szárú, mert $OC=OB=r$ , ezért $C$ -nél és $B$ -nél lévő szöge egyaránt $\alpha$ . Mivel $\omega$ ennek a háromszögnek külső szöge, egyenlő a két másik csúcsnál lévő belső szög összegével, azaz $\omega =2\alpha$ .

II. eset

A középponti szög a – nem érintő szárú – kerületi szög szögtartományába esik, nincs közös száruk.

Vegyük fel a $CO$ egyenest az ábra szerint, melynek a körrel való (nem $C$ ) metszéspontja legyen $D$ . A $CD$ szakasz az $\alpha$ kerületi szöget $\alpha _{1}$ és $\alpha _{2}$ szögekre, $\omega$ középponti szöget $\omega _{1}$ és $\omega _{2}$ szögekre osztja.

Vegyük észre, hogy (a $C$ -t nem tartalmazó) $AD$ és $BD$ ívekre az I. esetben már beláttuk, hogy $\omega _{1}=2\alpha _{1}$ , illetve $\omega _{2}=2\alpha _{2}$ .

Ezeket az egyenleteket összeadva kapjuk, hogy $\omega _{1}+\omega _{2}=2\alpha _{1}+2\alpha _{2}$ , vagyis $\omega =2(\alpha _{1}+\alpha _{2})=2\alpha$ .

III. eset

A középponti szög nem esik a – nem érintő szárú – kerületi szög szögtartományába.

Vegyük fel a $CO$ egyenest az ábra szerint, melynek a körrel való (nem $C$ ) metszéspontja legyen $D$ . Legyen $DCA\angle =\alpha _{1}$ , $DCB\angle =\alpha _{2}$ , $DOA\angle =\omega _{1}$ és $DOB\angle =\omega _{2}$ .

Mivel (a $C$ -t nem tartalmazó) $AD$ és $BD$ ívekre az I. esetben már beláttuk, hogy $\omega _{1}=2\alpha _{1}$ , illetve $\omega _{2}=2\alpha _{2}$ , az első egyenletből a másodikat kivonva:

\omega =\omega _{2}-\omega _{1}=2\alpha _{2}-2\alpha _{1}=2(\alpha _{2}-\alpha _{1})=2\alpha

.

IV. eset

A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög kisebb az egyenesszögnél.

Legyen az ábra szerint $AB$ szakasz felezőpontja $F$ . Ekkor, lévén $ABO$ háromszög egyenlő szárú, $OF$ szakasz két egyenlő szögre osztja $\omega$ -t (az ábrán $\omega _{1}=\omega _{2}={\frac {\omega }{2}}$ ).

Mivel $\alpha$ és $\omega _{1}$ merőleges szárú szögek, egyenlő nagyságúak, ezért $\omega =2\alpha$ .

V. eset

A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög éppen egyenesszög.

Ebben az esetben a kérdéses ívhez tartozó húr éppen a kör átmérője. Mivel az érintési pontba húzott sugár (és így az ezt tartalmazó átmérő is) merőleges az érintőre, $\alpha$ derékszög, ezért nyilvánvalóan $\omega =2\alpha$ .

VI. eset

A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög nagyobb az egyenesszögnél.

Legyen a kisebb $AOB\angle$ jelölése $\omega '$ , amely biztosan kisebb az egyenesszögnél, és nagysága $360$ ° $-\omega$ . Az ehhez a szöghöz tartozó érintő szárú kerületi szög az ábrán $\alpha '$ -vel jelölt szög, $\alpha$ kiegészítő szöge; nagysága $180$ ° $-\alpha$ . A IV. esetben belátottak miatt