Kanonikus kvantálás

A kvantummechanikában a kanonikus kvantálás egy matematikai módszer, amely a klasszikus dinamikai rendszerek Hamilton-formalizmusáról a kvantumelméletben alkalmazott operátor-formalizmusra való áttérést valósítja meg, így a fizikai mennyiségeket operátorokkal helyettesítjük.

Szemléltetése egy példával

A kvantumelmélet egy nevezetes axiómája – a korrespondencia-elv – szerint a klasszikus mechanika és a kvantummechanika alapelvei egymással bizonyos mértékig korrelálnak. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy a jelenségek azon körére, melyeket a klasszikus fizika kellő pontossággal tárgyalni képes, a kvantummechanikán belül is tárgyalható, bár esetleg más formalizmussal.

Példaképpen tekintsük egy atomi spektrumot, melynek vonalait, megoldásait keressük. A kvantummechanikai tárgyalásmód alapján egy n és m kvantumszámmal meghatározott atomi elektronállapotok közti átmenetkor létrejövő sugárzás frekvenciáját az ${\textstyle \omega _{mn}={\frac {1}{\hbar }}(E_{m}-E_{n})}$ határozza meg. A Bohr-modellben az elektron L impulzusmomentuma állandó, ennek nagyságát az ${\textstyle L=n\hbar }$ összefüggés határozza meg. Ezt Arnold Sommerfeld rezgő mozgásokra általánosította, és erre a $\phi =\oint pdx=2\pi h(n+\alpha )$ összefüggést adta meg.

A korrespondencia-elv alapján az mondható, hogy a fentebb definiált frekvenciák adott feltételek mellett közelítőleg egybeesnek a klasszikus frekvenciákkal. Nézzünk egy klasszikus kanonikus fizikai mennyiségpárt, erre érvényes, hogy  $\{q,p\}_{PB}=1$. Rendeljünk ehhez egy olyan ${\hat {q}},{\hat {p}}$ operátorpárt, amely a Hilbert-térben megfelel a felcserélési relációnak. Mivel a Hilbert-tér operátorai egymással rendszerint nem felcserélhetők, a kommutátoruk nem lesz nulla. Ekkor a következő írható fel:

$[{\widehat {q}},{\widehat {p}}]=i\hbar \qquad [{\widehat {q}},{\widehat {q}}]=[{\widehat {p}},{\widehat {p}}]=0$.

Azon fizikai mennyiségek, melyek operátorai nem kommutálnak, nem mérhetők tetszőleges pontossággal. Ezt mondja ki Heisenberg határozatlansági elve is. Követve ezt a gondolatmenetet, tekintsük a ${\hat {H}}({\hat {q}},{\hat {p}})$ operátorpárt, amelyet hozzárendelünk a Hamilton-függvényhez. Ezt gyakorlatilag minden dinamikai mennyiséggel megtehetünk (hermitikus operátorok). Ha $A$ operátora ${\hat {A}}$ és ennek adjungáltja ${\hat {A}}^{\dagger }$, akkor azt írhatjuk, hogy:$\langle \psi |{\hat {A^{\dagger }}}|\phi \rangle \equiv \langle \phi |{\hat {A}}\psi \rangle$.

A rendszer $|\Psi (t)\rangle$ kvantumállapotát t időpontban a Schrödinger-egyenlet írja le, azaz

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Phi (t)\rangle ={\hat {H}}({\hat {q}},{\hat {p}})|\Psi (t)\rangle$.

A $|\Psi (t)\rangle$ értékét kezdeti feltételek határozzák meg. A fentiek értelmében a kvantumelméletben – éppúgy, mint a klasszikus értelmezésben – a rendszer fizikai állapotának időfejlődését a Hamilton-függvény határozza meg.

Kanonikus kvantálás a térelméletben

A kanonikus kvantálás a térelméletben a kvantummechanikai axiómák klasszikus térelméletben való alkalmazásával adható meg. Egy $\phi (x)$ skalártérre, ha a Lagrange-sűrűség ${\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )$, akkor a kanonikus impulzus:$\Pi (x)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\delta \partial _{0}\phi (x)}}$.

Nemrelativisztikus terek esetén – követve a kvantálási szabályokat – végső soron egy sokrészecskés Hilbert-tér jön létre. Ennek okán a téroperátor kiterjeszthető egy normált síkhullám megoldáshalmazára. Ekkor felírható, hogy ${\textstyle \phi (x)=\sum _{P}[f_{p}(x)a_{p}+f_{p}^{*}(x)a_{p}^{\dagger }]}$. Megfigyelhető, hogy az egyenlet jobb oldala részecskekeltő és eltüntető operátorokat is magában foglal. Ez annak tudható be, hogy a tér- és impulzus operátor kvantálása hermitikus operátorokat képez (ez azt jelenti, hogy ${\textstyle ({\hat {H}}\Psi _{1},\Psi _{2})=(\Psi _{1},{\hat {H}}\Psi _{2})}$). Behelyettesítve $f_{p}(x)$ és $f_{p}^{*}(x)$ helyére az explicit hullámfüggvényeket a következő kifejezést kapjuk:

$$\phi (x)=\sum _{P}{\frac {1}{(2p^{0}V)^{\frac {1}{2}}}}(e^{-ipx}a_{p}+e^{ipx}a_{p}^{\dagger }])$$

A fenti kifejezések a Hilbert-tér szabad részecskéire teljes kifejezés.

Források

• Kleinert, Hagen. Particles and quantum fields. Singapore Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd (2016). ISBN 978-981-4740-89-0 
• W. Greiner and J. Reinhardt: Quantum Electrodynamics, Springer, Berlin, 2008.
• Nagy, Károly. Kvantummechanika : egyetemi tankönyv (magyar nyelven). Budapest: Nemzeti Tankönyvkiado (2000). ISBN 963-19-1127-6 
• Sailer Kornél: Bevezetés a kvantummechanikába Debreceni Egyetem, Elméleti Fizikai Tanszék (2008)

Kapcsolódó szócikkek

• Hilbert-tér