Körosztási polinom

A körosztási polinomok a primitív egységgyökök minimálpolinomjai. Jellegzetességük, hogy minden gyökük primitív egységgyök, éspedig minden gyökük ugyanolyan fokú primitív egységgyök. Fontos szerephez jutnak a geometriai szerkesztések elméletében és a Galois-elméletben.

Az n-edik körosztási polinom

$\Phi _{n}(x)=\prod _{i=1}^{\varphi (n)}(x-\xi _{i})$

ahol ξ₁,…,ξ_φ(n) az n-edik primitív egységgyökök, tehát olyan n-edik egységgyökök, amelyek nem kisebb fokú egységgyökök és φ(n) az Euler-függvény. Az első néhány példa:

$\Phi _{1}(x)=x-1$

$\Phi _{2}(x)=x+1$

$\Phi _{3}(x)=x^{2}+x+1$

$\Phi _{4}(x)=x^{2}+1$

$\Phi _{5}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

$\Phi _{6}(x)=x^{2}-x+1$

$\Phi _{7}(x)=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

$\Phi _{8}(x)=x^{4}+1$

$\Phi _{9}(x)=x^{6}+x^{3}+1$

$\Phi _{10}(x)=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$

$\Phi _{11}(x)=x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

$\Phi _{12}(x)=x^{4}-x^{2}+1$

$\Phi _{27}(x)=x^{18}+x^{9}+1$

Az n-edik körosztási polinom egész együtthatós, φ(n) fokú, $\mathbb {Q}$ felett irreducibilis polinom. Továbbá

$x^{n}-1=\prod _{d|n}\Phi _{d}(x)$

Az első néhány körosztási polinomot tekintve úgy tűnhet, hogy $\Phi _{n}(x)$ együtthatói mindig az {1, −1, 0} halmazból kerülnek ki. Ez azonban nem igaz, mert például $\Phi _{105}(x)$-ben a hetedfokú tag együtthatója −2; ez a legalacsonyabb fokú ellenpélda.

A $\Phi _{n}(x)$ körosztási polinom $\mathbb {Q}$ feletti felbontási teste a $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ körosztási test.

Források

• Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
• Laczkovich Miklós: A körosztási polinomokról, Új matematikai mozaik, Typotex, Budapest, 2002, 243-250.
• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK