Källén–Lehmann spektrális ábrázolás

A Källén–Lehmann-féle spektrális ábrázolás, vagy másképpen Lehmann-reprezentáció, általános összefüggést fejez ki a kölcsönható kvantumtérelmélet (időben rendezett) két-pont függvényeire a szabad propagátorok összegének segítségével. Egymástól függetlenül dolgozta ki Gunnar Källén (1952) svéd és Harry Lehmann (1954) német fizikus. Általánosan a következő összefüggés adja meg:

$\Delta (p)=\int d^{4}xe^{ipx}\langle \Omega |{\mathcal {T}}\{\Phi (x)\Phi (0)\}|\Omega \rangle =\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2}){\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\epsilon }},$

ahol $p$ az impulzus, $\Omega$ a kölcsönható kvantumtérelmélet alapállapota, a ${\mathcal {T}}\{\Phi (x)\Phi (y)\}$ a relativisztikus kvantummezők időrendezett szorzata, illetve a $\rho (\mu ^{2})$ pedig a spektrális sűrűségfüggvény. A spektrális sűrűségfüggvénynek pozitív definitnek kell lennie. Viszont kiemelendő, hogy a mértékelméletekben ez utóbbi feltétel nem teljesül, de a spektrális ábrázolás mégis előállítható.

Matematikai levezetés

Egy $\Phi (x)$ skalármező propagátorának spektrális ábrázolásának származtatásához először vegyük a kvantumállapotok egy teljes halmazát $\{|n\rangle \}$. Ekkor a két-pont korrelációs függvényre átírható a következő alakra, ahol:

$\langle \Omega |\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|\Omega \rangle =\sum _{n}\langle \Omega |\Phi (x)|n\rangle \langle n|\Phi ^{\dagger }(y)|\Omega \rangle .$

Használjuk ki az alapállapot Poincaré-invarianciáját, amely a következő összefüggésre vezet:

$\langle \Omega |\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|\Omega \rangle =\sum _{n}e^{-ip_{n}\cdot (x-y)}|\langle \Omega |\Phi (0)|n\rangle |^{2}.$

Ezután bevezetjük a spektrális sűrűségfüggvényt:

$\rho (p^{2})=\sum _{n}\theta (p_{0})(2\pi )^{3}\delta ^{4}(p-p_{n})|\langle \Omega |\Phi (0)|n\rangle |^{2},$

ahol azt a tényt használtuk ki, hogy a két-pont korrelációs függvény, mivel $p_{n}$ függvénye, csak a $p^{2}$-től függ. Emellett az összes köztes állapot rendelkezik $p^{2}\geq 0$ és $p_{0}>0$ tulajdonságokkal. Ebből belátható, hogy a spektrális sűrűségfüggvény valós és pozitív, szóval

$\langle \Omega |\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{3}}}\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}e^{-ip\cdot (x-y)}\rho (\mu ^{2})\theta (p_{0})\delta (p^{2}-\mu ^{2}).$

A két integrált felcserélve a kifejezést átalakíthatjuk a következőképpen:

$\langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})\Delta '(x-y;\mu ^{2}),$

ahol $D_{F}(x-y;\mu ^{2})$ a Feynman-propagátor:

$D_{F}(x-y;\mu ^{2})=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{3}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\theta (p_{0})\delta (p^{2}-\mu ^{2})$.

A CPT-tételből azt is tudjuk, hogy létezik egy ekvivalens kifejezés a $\langle 0|\Phi ^{\dagger }(x)\Phi (y)|0\rangle$-ra, és így jutunk el a mezők időrendezési szorzatának kifejezéséhez

$\langle \Omega |T\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|\Omega \rangle =\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})\Delta (x-y;\mu ^{2}),$

ahol

$\Delta (p;\mu ^{2})={\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\epsilon }}$

a szabadrészecske propagátor.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Källén–Lehmann spectral representation című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Bibliográfia

• Weinberg, S.. The Quantum Theory of Fields: Volume I Foundations. Cambridge University Press (1995). ISBN 978-0-521-55001-7 
• Peskin, Michael. An Introduction to Quantum Field Theory. Perseus Books Group (1995). ISBN 978-0-201-50397-5 
• Zinn-Justin, Jean. Quantum Field Theory and Critical Phenomena, 3rd, Clarendon Press (1996). ISBN 978-0-19-851882-2