Izogonális pont

Az izogonális pont megszerkesztése.

Az izogonális pont, Fermat-pont vagy Torricelli-pont a geometriában az a pont, amit egy háromszög csúcsaival összekötve az összekötő szakaszok együttes hossza minimális. Fermat fedezte fel, aki feladványul adta Evangelista Torricellinek a pont megszerkesztését.

Az izogonális pont megszerkesztése

Ha a háromszögnek nincs 120°-nál nagyobb szöge, az izogonális pont egyben az a pont, amiből a háromszög mindhárom oldala azonos szög alatt látszik. (Ha van, a hozzá tartozó csúcs lesz az izogonális pont.) Megszerkesztéséhez egy-egy szabályos háromszöget kell emelni a háromszög oldalaira, és az újonnan kapott csúcsokat összekötni az eredeti háromszög szemközti csúcsaival. A három egyenes az izogonális pontban metszi egymást. (Ugyanebben a pontban metszik egymást a szabályos háromszögek köréírt körei is; Torricelli ezt használta fel a megoldásához.)

Szerkesztés bizonyítása

Ábra a bizonyításhoz.

A bizonyítás megmutatja, hogy a három egyenes egy ponton halad át.

Legyen F az RC és BQ egyenesek metszéspontja. Azt akarjuk megmutatni, hogy az AFP görbe egyenes.

Mivel AR=AB és AC=AQ,

$\angle RAC=\angle RAB+\angle BAC$

$\angle BAQ=\angle BAC+\angle CAQ$.

Továbbá, mivel $\angle RAB$ és $\angle CAQ=60$º, amik belső szögei a szabályos háromszögeknek, $\angle RAC=\angle BAQ$. Ebből következik, hogy RAC és BAQ háromszögek egybevágóak. Vagyis $\angle ARF=\angle ABF$ és $\angle AQF=\angle ACF$. Tehát ARBF és AQCF húrnégyszög. Mivel húrnégyszögek, $\angle AFB=\angle AFC=\angle BFC=120$º. BFCP szintén húrnégyszög, hiszen $\angle BFC+\angle BPC=180$º. Ennélfogva $\angle BFP=\angle BCP=60$º. Tehát $\angle AFP=\angle AFB+\angle BFP=180$º.

Az izogonális tulajdonság

Tétel: Egy háromszög Fermat-pontjából a háromszög minden oldala 120 fok alatt látszik.

Bizonyítás: a matematikai optimalizálást, a Lagrange-szorzókat és a koszinusztételt használja.

A háromszög belsejében felvett pontot összekötjük a háromszög csúcsaival, és rendre X-nek, Y-nak, és Z-nek nevezzük ezeket a szakaszokat. Jelölje ezeknek a hosszát rendre x, y, z. Az X és Y által bezárt hegyesszög legyen α, az Y és a Z által bezárt szög β; ekkor az X és a Z szakasz szöge (2π − α − β). A Lagrange-szorzók módszerével a minimum:

x + y + z +

λ₁ (x² + y² − 2xy cos(α) − a²) +

λ₂ (y² + z² − 2yz cos(β) − b²) +

λ₃ (z² + x² − 2zx cos(α + β) − c²) .

ahol a, b és c a háromszög oldalainak hossza.

A parciális deriváltakat kiszámítva:

δ/δx: 1 + λ₁(2x − 2y cos(α)) + λ₃(2x − 2z cos(α + β)) = 0

δ/δy: 1 + λ₁(2y − 2x cos(α)) + λ₂(2y − 2z cos(β)) = 0

δ/δz: 1 + λ₂(2z − 2y cos(β)) + λ₃(2z − 2x cos(α + β)) = 0

δ/δα: λ₁y sin(α) + λ₃z sin(α + β) = 0

δ/δβ: λ₂y sin(β) + λ₃x sin(α + β) = 0

Némi számolással adódik, hogy:

sin(α) = sin(β)

sin(α + β) = −sin(β)

vagyis: α = β = 120^o

Tulajdonságok

• A szerkesztésben felhasznált szabályos háromszögek körülírt körei a Fermat-pontban metszik egymást
• Trilineáris koordinátái:

csc(A + π/3) : csc(B + π/3) : csc(C + π/3), vagy ekvivalensen,

sec(A − π/6) : sec(B − π/6) : sec(C − π/6).

• Baricentrikus koordinátái:

a·csc(A + π/3) : b·csc(B + π/3) : c·csc(C + π/3)

Második Fermat-pont

A második Fermat-pont az (első) Fermat-ponthoz hasonlóan szerkeszthető, kivéve, hogy a szabályos háromszögeket a háromszög belseje felé mérjük fel. Az első Fermat-ponthoz hasonló tulajdonságokkal bír, kivéve, hogy innen a háromszög egy oldala 120 fok, két oldala 60 fok alól látszik.

Trilineáris koordinátái:

csc(A − π/3) : csc(B − π/3) : csc(C − π/3), vagy ekvivalensen,

sec(A + π/6) : sec(B + π/6) : sec(C + π/6).

Trilineáris koordinátái:

a·csc(A − π/3) : b·csc(B − π/3) : c·csc(C − π/3)