Induktív dimenzió

Az induktív dimenzió a topológiában használatos dimenziófogalmak egyike, amely egy alakzat dimenzióját teljes indukcióval definiálja azt kihasználva, hogy egy test határa általában eggyel kisebb dimenziójú, mint maga a test. Attól függően, pontosan hogyan definiáljuk az eljárást, két némileg különböző fogalomhoz jutunk: a kis induktív dimenzióhoz (ind(X)) illetve a nagy induktív dimenzióhoz (Ind(X)).

Definíció

Kis induktív dimenzió

Az $X$ topologikus tér $ind(X)\,$ kis induktív dimenziója így definiálható:

$ind(\emptyset ):=-1$
$ind(X)\leq n$ , ha minden $x\in X$ pontra és $x$ minden $U$ nyílt környezetéhez van $x$ -nek $V$ nyílt környezete, hogy ${\overline {V}}\subset U$ , és $ind(\partial V)\leq n-1$ .
$ind(X)\,=\,n$ , ha $ind(X)\leq n$ és nem $ind(X)\leq n-1$
$ind(X)\,=\,\infty$ , ha nincs $n\in \mathbb {N}$ , amire az $ind(X)\leq n$ egyenlőtlenség fennáll.

Nagy induktív dimenzió

Ha a kis induktív dimenzió definíciójában az $x\in X$ pontot egy tetszőleges zárt halmazzal helyettesítjük, akkor a nagy induktív dimenzió fogalmához jutunk. Pontosabban: az $X$ topolgikus tér $Ind(X)\,$ nagy induktív dimenziója így definiálható:

$Ind(\emptyset ):=-1$
$Ind(X)\leq n$ , ha minden $A\subset X$ halmazhoz, és $A$ minden $U\subset$ környezetéhez van $A$ -nak egy nyílt $V$ környezete, hogy ${\overline {V}}\subset U$ és $Ind(\partial V)\leq n-1$ .
$Ind(X)\,=\,n$ , ha $Ind(X)\leq n$ és nem $Ind(X)\leq n-1$
$Ind(X)\,=\,\infty$ , ha nincs $n\in \mathbb {N}$ , amire az $Ind(X)\leq n$ egyenlőtlenség teljesül.

Megfigyelések

Az $ind(X)\leq n$ állítás formálisan így írható fel: minden $x\in X$ pontnak van olyan környezetbázisa, ami $\leq n-1$ kis induktív dimenziós határú zárt halmazokból áll. Mivel minden pontnak kell, hogy zárt környezetekből álló környezetbázisa van, ezért a fogalomnak csak reguláris terekben van értelme.
Az $Ind(X)\leq n$ állítás így formalizálható: minden $A,B\subset X$ diszjunkt zárt halmaznak van $U\supset A$ és $V\supset B$ nyílt környezete, hogy $U\cap V=\emptyset$ , $\partial U\leq n-1$ és $\partial V\leq n-1$ . Mivel ez az állítás felteszi, hogy teljesül az elválasztási axióma, ezért a fogalomnak csak normális terekben van értelme.
Míg a kis induktív dimenzió a tér pontjaira is értelmes, addig a nagy induktív dimenzió csak az egész térre vonatkoztatható, a pontokra nem.

Tételek

Egyenlőtlenségek

Ha $X$ metrikus tér, akkor M. Katětov tétele szerint

$ind(X)\leq Ind(X)\leq dim(X)$ .

P. S. Alexandrov egy tétele miatt a kompakt Hausdorff-tereken:

$dim(X)\leq ind(X)\leq Ind(X)$ .

Szeparábilis (megszámlálható bázisú) metrikus terekre egyenlőség áll fenn:

$ind(X)\,=\,Ind(X)\,=\,dim(X)$ .

K. Nagami konstruált egy $X$ normális teret, amire $ind(X)=0$ , $dim(X)=1$ és $Ind(X)=2$ .

Kompaktifikáció

Jelölje $\beta X$ azt a legbővebb kompakt Hausdorff-teret, ami $X$ -et sűrű altérként tartalmazza (Stone-Čech-kompaktifikáció). Ekkor

N. Wendenisow: Ha $X$ normális, akkor $Ind(X)=Ind(\beta X)$ .
J. R. Isbell: Ha $X$ normális, akkor $dim(X)=dim(\beta X)$ .
A kis indukcióra nem teljesülnek a fentiekkel analóg állítások.

Részhalmaztétel

$Ind$ és $dim$ teljesítik a teljes metrikus terek részhalmaztételét:

Ha $X$ teljes normális tér, és $Y\subset X$ , akkor $Ind(Y)\leq Ind(X)$ , és $dim(Y)\leq dim(X)$ .

Összegtétel

Ind eleget tesz a teljes normális terek összegtételének:

C. H. Dowker: Ha $X$ teljes normális tér, és $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ zárt halmazok sorozata, hogy $X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }F_{n}$ , akkor $Ind(X)\leq \sup _{n\in \mathbb {N} }Ind(F_{n})$ .
Nem teljes normális terekre a tétel állítása nem teljesül sem a kis, sem a nagy induktív dimenzióra, még a kompakt Hausdorff-terekre sem.

Szorzattétel

Akkor mondjuk, hogy egy dimenziófogalom eleget tesz a szorzattételnek, ha két tér szorzatterének dimenziója becsülhető a tényezők dimenzióinak összegével:

$\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{n+m}$ .

Ha $X$ és $Y$ nem üres reguláris Hausdorf-tér, akkor $ind(X\times Y)\leq ind(X)+ind(Y)$ .
Egy normális tér perfekt, ha bármely két disjunkten $A,B\subset X$ diszjunkt zárt halmazhoz van egy folytonos $f:X\rightarrow [0,1]$ függvény, hogy $A=f^{-1}(0)$ és $B=f^{-1}(1)$ .