Hermite-polinomok

Az Hermite-polinomok olyan polinomok, amelyek kielégítik a következő differenciálegyenletet:

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}e^{-x^{2}}$

ekvivalens alakban

$H_{n}(x)=e^{x^{2}/2}\,\left(x-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dx} }}\right)^{n}\,e^{-x^{2}/2}$

Explicit alak

Az Hermite-polinomok explicit alakban is megadhatók Faà di Bruno képlete szerint:

$H_{n}(x)=(-1)^{n}\sum _{k_{1}+2k_{2}=n}{\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!}}(-1)^{k_{1}+k_{2}}(2x)^{k_{1}}$

Az első néhány Hermite-polinom

$H_{0}(x)=1$

$H_{1}(x)=2x$

$H_{2}(x)=(2x)^{2}-2=4x^{2}-2$

$H_{3}(x)=(2x)^{3}-6(2x)=8x^{3}-12x$

$H_{4}(x)=(2x)^{4}-12(2x)^{2}+12=16x^{4}-48x^{2}+12$

Rekurziós formula

Az Hermite-polinomok a következő rekurzióval számíthatók:

$\qquad H_{n+1}(x)=2\,x\,H_{n}(x)-2\,n\,H_{n-1}(x)$

$\qquad H_{n}'(x)=2\,n\,H_{n-1}(x)$

Tulajdonságok

Mivel minden iterációs lépésben $x$-szel vett szorzat szerepel, azért látszik, hogy $H_{n}(x)$ n-edfokú, és főegyütthatója $2^{n}$. Páros n-re $H_{n}(x)$ páros függvény, páratlan n-re páratlan. Vagyis

$H_{n}(-x)=(-1)^{n}\cdot H_{n}(x)$

Egy másik lehetőség a definícióra:

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}e^{-x^{2}/2}.$

Az Hermite-polinomok kielégítik a következő differenciálegyenletet:

$y''+x\,y'+n\,y=0.$

Rekurziós formula:

$H_{n+1}(x)=x\,H_{n}(x)-n\,H_{n-1}(x)$

Ortogonális rendszer

Az Hermite-polinomok teljesítik ezt az ortogonalitási relációt:

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\cdot H_{n}(x)\cdot H_{m}(x)\,dx=2^{n}\cdot n!\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \delta _{nm}.$

Ez azt jelenti, hogy bizonyos valós függvények sorba fejthetők az Hermite-polinomok szerint.

Alkalmazás

Az Hermite-polinomok sokoldalú fizikai alkalmazásaik által válnak jelentőssé. Példa: a kvantummechanikai harmonikus oszcillátor ortonormált megoldásfüggvényeinek előállítása. Ezek az Hermite-függvények, amik a normális eloszlás eloszlásfüggvényével szorozva és megfelelően normálva kaphatók az Hermite-polinomokból.

Források

• I.N. Bronstein u.A.: Taschenbuch der Mathematik 5. kiadás. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, Thun, 2001 ISBN 3-8171-2005-2
• Milton Abramowitz és Irene Stegun: Pocketbook of Mathematical Functions
• Murray R. Spiegel, Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler McGraw-Hill
• Eric W. Weisstein. „Hermite Polynomial.“ From MathWorld -A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html
• A Bad Saulgau tanulói kutatóközpont jegyzete