Háromnégyzetszám-tétel

A háromnégyzetszám-tétel azt állítja, hogy egy n pozitív egész akkor és csak akkor nem áll elő három négyzetszám összegeként, ha $n=4^{k}(8m+7)$ alakú.

A tételre Legendre egy nem teljes bizonyítást adott 1798-ban. Az első teljes bizonyítást Gauss írta le Disquisitiones Arithmeticae című 1801-ben megjelent könyvében.

A tétel alkalmazása

A tételből levezethető, hogy minden természetes szám három háromszögszám összege, ahol háromszögszámoknak a 0, 1, 3, 6, 10,…, tehát az $n(n+1)/2$ alakú számokat nevezzük. Valóban, az

$n={\frac {a(a+1)}{2}}+{\frac {b(b+1)}{2}}+{\frac {c(c+1)}{2}}$

egyenlőség 8-cal való szorzással és mindkét oldalhoz 3 hozzáadásával átalakítható a következővé:

$8n+3=(2a+1)^{2}+(2b+1)^{2}+(2c+1)^{2}.$

Fenti tételünkből adódik, hogy minden $8n+3$ alakú szám három négyzetszám összege, azt kell belátnunk, hogy az összeadandók ekkor szükségképpen páratlanok. Mivel páros szám négyzete 8-cal osztva 0 vagy 4 maradékot ad, páratlané pedig 1-et, a 8-cal vett 3-as maradékot csak úgy kaphatjuk meg, ha minden összeadandó páratlan.

A tétel bizonyítása

Állítás: Az $n=4^{k}(8m+7)$ alakú számok nem állnak elő három négyzetszám összegeként

A bizonyításhoz teljes indukciót használunk mégpedig k-ra. Először belátjuk hogy k=0 esetén nem állítható elő, azaz 8m+7 számok nem írhatók fel három négyzetszám összegeként. Egy négyzetszám nyolccal osztva maradékul nullát, egyet vagy négyet ad, ezek közül semelyik három összege nem ad hetet maradékul. Tegyük fel hogy k-ig igaz az állítás. Bizonyítsuk k-ra. Indirekt módon tegyük fel hogy létezik olyan $n=4^{k}(8m+7)$ alakú szám ami előáll három négyzetszám összegeként, vagyis létezik x, y, z hogy: $4^{k}(8m+7)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$. $4^{k}(8m+7)$ osztható néggyel tehát $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ is, ami csak úgy lehet hogy x, y, z mindegyike páros. De ekkor az egyenlet mindkét oldalát néggyel osztva kapjuk hogy: $4^{k-1}(8m+7)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{2}}\right)^{2}$, de ez ellentmond az indukciós feltétellel mivel $\left({\frac {x}{2}}\right),\left({\frac {y}{2}}\right),\left({\frac {z}{2}}\right)$ pozitív egészek.

A másik irány bizonyítása jóval nehezebb.

Kapcsolódó szócikkek

• kétnégyzetszám-tétel
• négynégyzetszám-tétel