Gauss-lemma

A Gauss-lemma egy egész együtthatós polinomokra vonatkozó állítás, amit az algebrában nemcsak a polinomok elméletében alkalmaznak.

Primitív polinomok

Egy egész együtthatós polinomot primitívnek nevezünk, ha együtthatóinak legnagyobb közös osztója 1.

Például $6x^{3}-5x+9$ primitív polinom.

A lemma állítása

Primitív polinomok szorzata is primitív.

A lemma bizonyítása

Indirekt tegyük fel, hogy a primitív $f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$ és $g(x)=b_{0}+b_{1}x+\cdots +b_{m}x^{m}$ polinomok szorzata nem primitív. A szorzat

$h(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n+m}x^{n+m},$

ahol

$c_{k}=a_{0}b_{k}+a_{1}b_{k-1}+\cdots +a_{k}b_{0}.$

Van tehát olyan $p$ prímszám, ami minden $c_{k}$-nak osztója. Legyen $k$ a legkisebb index, amire $p$ nem osztója $a_{k}$-nak és hasonlóan legyen $l$ a legkisebb index, amire $p$ nem osztója $b_{l}$-nek. Ekkor a $c_{k+l}$ azon $a_{i}b_{j}$ tagok összege, amikre $i+j=k+l$ teljesül. Ebben az összegben

minden tag osztható $p$-vel, amiben $i<k$,

minden tag osztható $p$-vel, amiben $j<l$,

a fennmaradó egyetlen tag, $a_{k}b_{l}$ viszont nem osztható $p$-vel.

Tehát $c_{k+l}$ nem osztható $p$-vel, ellentmondás.

Alkalmazás

Ha a $H(x)$ egész együtthatós polinom felbomlik a racionális együtthatós $f(x)$ és $g(x)$ polinomok szorzatára, akkor olyan egész együtthatós $F(x)$ és $G(x)$ polinomok szorzatára is felbontható, ahol $F(x)$ fokszáma megegyezik $f(x)$-ével, $G(x)$ fokszáma pedig $g(x)$-ével.

Valóban, legyen $A$ az $f(x)$ nevezőinek legkisebb közös többszöröse (azaz ekkor $Af(x)$ egész együtthatós) illetve $a$ az $Af(x)$ polinom együtthatóinak legnagyobb közös osztója. Ekkor $Af(x)=aF(x)$, ahol $F(x)$ szintén egész együtthatós polinom. Elosztva $A$-val$f(x)={\frac {a}{A}}F(x)$ adódik. Legyen hasonlóan $B$ a $g(x)$ nevezőinek legkisebb közös többszöröse és $b$ a $Bg(x)$ együtthatóinak legnagyobb közös osztója. Ekkor hasonlóan az előzőekhez $g(x)={\frac {b}{B}}G(x)$ adódik. Legnagyobb közös osztók kiemelése miatt $F(x)$ és $G(x)$ primitív polinomok. Továbbá $(a,A)=(b,B)=1$.

Amit tudunk még, az

${\frac {a}{A}}F(x){\frac {b}{B}}G(x)=H(x).$

egyenlőség.

Azt is feltehetjük, hogy $(a,B)=(A,b)=1$, hiszen, ha például $a$-nak és $B$-nek lenne egy $d>1$ közös osztója, akkor $a$-t és $B$-t $d$-vel osztva ismét egyenlőséget kapunk.

Kaptuk tehát, hogy $(ab,AB)=1$. Felszorozva

$ab\cdot F(x)G(x)=AB\cdot H(x)$

adódik. Mivel $H(x)$ egész együtthatós, $AB$ osztja a bal oldali polinom minden együtthatóját. De $(ab,AB)=1$, ezért $AB$ osztja $F(x)G(x)$ minden együtthatóját. A Gauss-lemma miatt ez csak úgy lehet, ha $AB=1$, azaz $A=B=1$. Ezzel készen vagyunk, hiszen $aF(X)\cdot bG(x)$ a $H(x)$ felbontása egész együtthatós polinomok szorzatára.