Gauss-folyamat

A Gauss-folyamat folytonos idejű sztochasztikus folyamat. Nevét Carl Friedrich Gaussról kapta, mivel szorosan kötődik a Gauss-eloszláshoz.

Definíció

Gauss-folyamatnak nevezünk egy $B\colon \Omega \times [0,\infty )\to \mathbb {R}$ sztochasztikus folyamatot, ha teljesül az alábbi két tulajdonság:

• folytonos trajektóriájú, azaz $\forall \omega \in \Omega$ a $t\mapsto B(\omega ,t)$ leképezés (trajektória) folytonos.
• $\forall t_{1},t_{2},...t_{r}\in [1,\infty )$ véges indexhalmazra $(B_{t_{1}},B_{t_{2}},...,B_{t_{r}})$ eloszlása többdimenziós normál eloszlás.

A Gauss-folyamatot meghatározza a várható érték függvénye, és a kovarianciafüggyvénye, előbbi $t\mapsto E(B_{t})$, utóbbi $(s,t)\mapsto {\text{cov}}(B_{s},B_{t})$.

Speciális Gauss-folyamatok

• Wiener-folyamat
• Brown-híd ($E(B_{t})=0,{\text{cov}}(B_{s},B_{t})=st-\min(s,t)$)
• Ornstein–Uhlenbeck-folyamat