Gauss–Osztrohradszkij-tétel

Vektormező gömbfelületen

A Gauss–Osztrohradszkij-tétel (divergenciatétel) segítségével az integrálegyenleteket differenciális alakra hozhatjuk. Maga a tétel egy vektor zárt felületre vett integrálja és ugyanezen vektor divergenciájának térfogati integrálja között teremt kapcsolatot. A tétel szerint tetszőleges F zárt felület által határolt V térfogatban definiált nem szinguláris V(x) vektormezőre fennáll, hogy V divergenciájának térfogati integrálja megegyezik a (normális) F felületelem és V skaláris szorzatának integráljával:

$\oint _{F}\mathbf {V} d\mathbf {F} =\int _{V}div\mathbf {V} \ dV$,

vagy (a merőleges komponens felírásval)

$\oint _{F}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \ dF=\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} d^{3}x$.

Más szavakkal a V vektortérnek a zárt F felületen átmenő skaláris fluxusa egyenlő V divergenciájának az F által bezárt V térfogatra kiterjedő integráljával.

Ugyanez komponensenként kiírva derékszögű koordinátákkal:

$\int \int (V_{x}dydz+V_{y}dxdz+V_{z}dxdy)=\int \int \int ({\frac {\partial {V_{x}}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial {V_{y}}}{\partial {y}}}+{\frac {\partial {V_{z}}}{\partial {z}}})dxdydz.$

Ez a fizikai Gauss-törvényben a következőképpen jelenik meg. Vegyük a Gauss-törvény integrális összefüggését:

$\oint _{F}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} dF={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}\rho (\mathbf {x} )d^{3}x.$

Alkalmazva a divergenciatételt, majd az egyenletet átrendezve az

$\int _{V}(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}})d^{3}x=0$

egyenletet kapjuk.

Mivel a V térfogat tetszőleges, ezért az integrál csak akkor lesz zérus, ha az integrandus is zérussal egyenlő, azaz:

$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.$

Ezzel tehát valóban megkaptuk az elektrosztatika Gauss-törvényének differenciális alakját.

Általánosítás

Legyen (M,g) egy legalább C^2 osztályú sokaság, N egy irányított peremes részsokasága N-nek, és legyen A egy kompakt tartójú dim(N)-1-forma a M-en! Ekkor fennáll az alábbi összefüggés:

$\int _{\partial {N}}A_{\partial {N}}=\int _{N}dA$

ahol 'd' a külső deriválás operátor, továbbá egy topologikus térből vektor térbe érkező függvényt akkor mondunk kompakt tartójúnak, ha a zérushelyeinek halmaza relatív kompakt (a lezártja kompakt).

Ha a sokaság Riemann, akkor az 1-formák tere azonosítható a vektormezők terével, valamint, ha a sokaság 3 dimenziós, akkor a Reimann-struktúra segítségével a rotáció definiálható. Ekkor a fenti tétel az ismert integráltételek (Newton-Leibniz, Gauss, Stokes, Green) közös általánosításaként fogható fel.

Források

• Divergenciatétel
• Példák a tételre
• Divergencia
• John David Jackson: Klasszikus elektrodinamika (Typotex, Budapest, 2004) (Információ a kiadványról: 1. és 2.)
• Matematikai zsebkönyv (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974)
• Fekete Zoltán-Zalay Miklós: Többváltozós függvények analízise (A könyv adatlapja a Molyon)