Gauss-összeg

A Gauss-összeg a számelmélet egyik fontos fogalma.

Ha $p$ páratlan prímszám, $\omega =\cos \left({\frac {2\pi }{p}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{p}}\right)$ az „első” p-edik egységgyök, akkor a

$G=\sum _{k=0}^{p-1}\omega ^{k^{2}}$

összeget nevezzük Gauss-összegnek.

Könnyű belátni, hogy $G$ értéke ${\sqrt {p}}$ vagy $-{\sqrt {p}}$ ha $p$ 4-gyel osztva 1-et ad maradékul és $i{\sqrt {p}}$ vagy $-i{\sqrt {p}}$ ha $p$ 4-gyel osztva 3-at ad maradékul. Gauss 1801 májusában naplójában rögzítette azt a sejtését hogy a helyes érték mindig ${\sqrt {p}}$illetve $i{\sqrt {p}}$. Ezt négy évig nem tudta igazolni, noha, mint barátjának, Olbersnek 1805. szeptember 3-án megírta, nem volt olyan hét, amikor ne vette volna elő a problémát. Végül „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst…” (váratlan villámcsapásként megláttam a probléma megoldását).

Általánosítás

Gauss általánosan megmutatta, hogy minden pozitív egész $N$ számra, ha

$\omega =\cos \left({\frac {2\pi }{N}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{N}}\right)$

akkor

$\sum _{k=1}^{N}\omega ^{k^{2}}={\begin{cases}{\sqrt {N}}&{\mbox{ha }}N\equiv 1{\pmod {4}}\\0&{\mbox{ha }}N\equiv 2{\pmod {4}}\\i{\sqrt {N}}&{\mbox{ha }}N\equiv 3{\pmod {4}}\\(1+i){\sqrt {N}}&{\mbox{ha }}N\equiv 0{\pmod {4}}\end{cases}}$

Gauss vizsgálta a

$G_{3}=\sum _{k=1}^{p}\omega ^{k^{3}}$

összeget is. A Disquisitiones Arithmeticae-ben megállapította, hogy ha $p\equiv 1{\pmod {3}}$, akkor $4p=A^{2}+27B^{2}$ alakban írható, és ha kikötjük, hogy $A\equiv 1{\pmod {3}}$ legyen, akkor $G_{3}$ gyöke az irreducibilis $x^{3}-3px-Ap$ polinomnak.