Friedlander–Iwaniec-tétel

Az analitikus számelmélet területén a Friedlander–Iwaniec-tétel^[1] (vagy Bombieri–Friedlander–Iwaniec-tétel) állítása szerint végtelen sok olyan prímszám létezik, mely az $a^{2}+b^{4}$ alakban felírható. Az első néhány ilyen prím:

2, 5, 17, 37, 41, 97, 101, 137, 181, 197, 241, 257, 277, 281, 337, 401, 457, 577, 617, 641, 661, 677, 757, 769, 821, 857, 881, 977, … (A028916 sorozat az OEIS-ben).

Az állítás igazolásának nehézsége a sorozat viszonylagos ritkaságában áll: az $X$ -nél kisebb, $a^{2}+b^{4}$ alakú számok számossága az $O((10^{k})^{3/4})$ nagyságrendbe esik. Jelenleg ez a legritkább polinom, amire sikerült igazolni, hogy végtelen sok prímet tartalmaz.

Történet

A tételt 1997-ben John Friedlander és Henryk Iwaniec bizonyította.^[2] Szitatechnikákat használták, Enrico Bombieri aszimptotikus szitáját használva. A Friedlander–Iwaniec-tétel a Yitang Zhang-féle PolyMath8 kollaboratív projekt, a prímszámhézagokat pontosítani szándékozó Bounded gaps between primes^[3] két kulcseredménye közül az egyik (a másik Goldston–Pintz–Yıldırım 2005-ös eredménye volt^[4]^[5]).

Iwaniec 2001-ben részben ezen munkához való hozzájárulásával nyerte el az Ostrowski Prize-t.^[6]

Heath-Brown később hasonló jellegű eredményt ért el az $a^{3}+2b^{3}$ alakú prímek tekintetében.

Speciális eset

Ha $b = 1$ , a Friedlander–Iwaniec-prímek $a^{2}+1$ alakot öltenek, ebbe a halmazba pl. a következő számok tartoznak:

2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12101, 13457, 14401, 15377, … (A002496 sorozat az OEIS-ben).

Létezik olyan sejtés (egyike Landau problémáinak) hogy ez a halmaz végtelen. Ez azonban nem következik a Friedlander–Iwaniec-tételből (fordítva, ebből következne a Friedlander–Iwaniec-tétel), és nem bizonyított.

Jegyzetek

↑ van Golstein Brouwers, G.; Bamberg, D. & Cairns, J. (2004), "Totally Goldbach numbers and related conjectures", Australian Mathematical Society Gazette 31 (4): 251–255 [p. 254], <http://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2004/Sep04/Sep04.pdf>.
↑ Friedlander, John & Iwaniec, Henryk (1997), "Using a parity-sensitive sieve to count prime values of a polynomial", PNAS 94 (4): 1054–1058, DOI 10.1073/pnas.94.4.1054.
↑ Zhang, Yitang (2014). „Bounded gaps between primes”. Annals of Mathematics 179, 1121–1174. o, Kiadó: Princeton University and the Institute for Advanced Study. DOI:10.4007/annals.2014.179.3.7. (Hozzáférés: 2014. március 11.)
↑ Primes in Tuples I, D. A. Goldston, J. Pintz, C. Y. Yildirim, 2005. arXiv.org
↑ Wilkinson, Alec. „The Pursuit of Beauty Yitang Zhang solves a pure-math mystery.”, newyorker.com (Hozzáférés: 2015. február 1.) „"Goldston-Pintz-Yıldırım and Bombieri-Friedlander-Iwaniec. Yitang Zhang szavaival: „Az első cikk a hézagok korlátairól szól, a második a prímek eloszlásáról számtani sorozatokban. A kettőt összehasonlítom, hozzáadom a saját leleményeim."”
↑ "Iwaniec, Sarnak, and Taylor Receive Ostrowski Prize"

Irodalom

Cipra, Barry (1998), "Sieving Prime Numbers From Thin Ore", Science 279 (5347): 31, DOI 10.1126/science.279.5347.31.

További információk

J. Friedlander, H. Iwaniec, Using a parity-sensitive sieve to count prime values of a polynomial, PNAS 1997 94:1054-1058
D.R. Heath-Brown, Primes represented by x3 +2y3; Acta Mathematica, 186 (2001), 1-84.
B. Z. Moroz, On the representation of primes by polynomials (a survey of some recent results), Proceedings of the Mathematical Institute of the Belarussian Academy of Sciences, 13 (2005), no. 1, pp. 114-119.

[bwi-thm-1] van Golstein Brouwers, G.; Bamberg, D. & Cairns, J. (2004), "Totally Goldbach numbers and related conjectures", Australian Mathematical Society Gazette 31 (4): 251–255 [p. 254], <http://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2004/Sep04/Sep04.pdf>.

[2] Friedlander, John & Iwaniec, Henryk (1997), "Using a parity-sensitive sieve to count prime values of a polynomial", PNAS 94 (4): 1054–1058, DOI 10.1073/pnas.94.4.1054.

[bounded-3] Zhang, Yitang (2014). „Bounded gaps between primes”. Annals of Mathematics 179, 1121–1174. o, Kiadó: Princeton University and the Institute for Advanced Study. DOI:10.4007/annals.2014.179.3.7. (Hozzáférés: 2014. március 11.)

[4] Primes in Tuples I, D. A. Goldston, J. Pintz, C. Y. Yildirim, 2005. arXiv.org

[5] Wilkinson, Alec. „The Pursuit of Beauty Yitang Zhang solves a pure-math mystery.”, newyorker.com (Hozzáférés: 2015. február 1.) „"Goldston-Pintz-Yıldırım and Bombieri-Friedlander-Iwaniec. Yitang Zhang szavaival: „Az első cikk a hézagok korlátairól szól, a második a prímek eloszlásáról számtani sorozatokban. A kettőt összehasonlítom, hozzáadom a saját leleményeim."”

[ostrowski-6] "Iwaniec, Sarnak, and Taylor Receive Ostrowski Prize"

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]