Fermi–Dirac-statisztika

A fizikában a Fermi–Dirac-statisztika (F–D-statisztika) leírja a részecskék energiaállapotát egy rendszerben, amely azonos részecskékből áll a Pauli-elv alapján. Az elnevezést Enrico Fermi és Paul Dirac fizikusokról kapták, akik egymástól függetlenül fedezték fel.^[1]^[2]

Az F-D-statisztika termikus egyensúlyban lévő rendszerekben lévő félegész spinnel rendelkező részecskékre (fermionok) vonatkozik. További feltételezés, hogy ezek a részecskék egymással elhanyagolható kölcsönhatásban vannak. Ez lehetővé teszi a sok részecskéből álló rendszerek leírását egyedi részecskék energiaállapotával.

A F-D-statisztika szerint két részecske nem lehet azonos állapotban, ez jelentős hatással van a rendszer tulajdonságaira. A leggyakrabban elektronokra alkalmazzák, melyek ½ spinnel rendelkező fermionok. Az F-D-statisztika része az általánosabb statisztikus mechanika és a kvantummechanika elméletének.

Történet

Az F-D-statisztika 1926-ban történő bevezetése előtt nehéz volt megérteni néhány jelenséget az elektronokkal kapcsolatban, azok ellentmondásossága miatt. Például a fémek szobahőmérsékleten mért hőkapacitásánál 100-szor kevesebb elektront tapasztaltak, mint az elektromos áramnál.^[3]

Azt is nehéz volt megérteni, hogy a fémekre ható nagyenergiájú tér hatására keletkező emissziós áram miért majdnem független a hőmérséklettől. Ezek a nehézségek abból adódtak, hogy 1926 előtt a klasszikus statisztikus elmélet szerint az elektronok mind egyformán viselkednek. Más szóval, azt hitték, hogy minden elektron a Boltzmann-állandó szerint járul hozzá a hőhöz.

Ez a statisztikai probléma megoldatlan maradt az F-D-statisztika felfedezéséig.

Az F-D-statisztikát először 1926-ban publikálta Enrico Fermi^[1] és Paul Dirac.^[2]

Pascual Jordan hasonló elméletet fejlesztett ki 1925-ben, melyet Pauli-statisztikának nevezett el, de ezt nem publikálta időben.^[4]

Az F-D-statisztikát először 1926-ban Raph Fowler alkalmazta, amikor leírta egy csillag összeomlását fehér törpévé.^[5]

Arnold Sommerfeld az elektronokra alkalmazta az elméletet^[6] 1928-ban, Fowler és Nordheim az elektromos tér hatására történő elektronemisszióra alkalmazta az elméletet.^[7] A Fermi–Dirac-statisztika fontos részévé vált a fizikának.

Fermi–Dirac-eloszlás

Az energiaszintek betöltöttségének valószínűségét a Fermi-Dirac-eloszlási függvény határozza meg. Azoknál a rendszereknél, melyek azonos fermionokat tartalmaznak, a fermionok számát a Fermi–Dirac-eloszlás adja meg:^[8]

{\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}+1}}

ahol k a Boltzmann-állandó, T az abszolút hőmérséklet, $\epsilon _{i}\$ egy $i$ állapotú egyedi részecske energiája, és $\mu \$ a kémiai potenciál. T = 0-nál a kémiai potenciál egyenlő a Fermi-energiával (Fermi-szint). Az F-D-eloszlás csak akkor érvényes a fermionok számának kiszámítására, ha a rendszer elég nagy, azaz egy plusz fermion hozzáadása elhanyagolható hatással van a $\mu \$ -re.^[9] Mivel az F-D-eloszlás a Pauli-elvből származik, mely csak egy elektront enged meg minden egyes állapotban, az eredmény $0<{\bar {n}}_{i}<1$ .

A sakkjátékkal történő összehasonlításban egy mezőben csak egy figura lehet, azaz a sakkfigurák átlagos száma négyzetenként nem lehet 1-nél nagyobb.)

Fermi-szint

Félvezetőkben lévő elektronoknál a $\mu \$ -t Fermi-szintnek is hívják.^[10]^[11] A Fermi-szint az az energiaérték, ahol az elektronnal és lyukkal való betöltöttség valószínűsége megegyezik. A vezetőkben a Fermi-szint a vezetési sávban (lásd energiasávok), a szigetelőkben a vegyértéksávban van, félvezetők esetében pedig a vezetési sáv és a vegyértéksáv közé esik. Az abszolút nulla hőmérsékleten az elektronok betöltik az energiaszinteket a Fermi-szintig, de a magasabb szintek nincsenek betöltve. Az intrinsic félvezető Fermi-szintje gyakorlatilag a tiltott sáv közepén helyezkedik el. N típusú félvezetőben a Fermi-szint a tiltott sáv felső felében, p típusú félvezetőben a tiltott sáv alsó felében helyezkedik el. Az adalékolás növelésével a Fermi-szint a sávszélek felé mozdul el, a hőmérséklet növekedésével fordítva, a sáv közepe felé mozdul.

Jegyzetek

↑ ^a ^b Fermi, Enrico (1926). „Sulla quantizzazione del gas perfetto monoatomico” (olasz nyelven). Rend. Lincei 3, 145–9. o. , translated as (1999. december 14.) „On the Quantization of the Monoatomic Ideal Gas”.
↑ ^a ^b Dirac, Paul A. M. (1926). „On the Theory of Quantum Mechanics”. Proceedings of the Royal Society, Series A 112 (762), 661–77. o. DOI:10.1098/rspa.1926.0133. JSTOR 94692.
↑ (Kittel 1971, pp. 249–50)
↑ (2000. május 19.) „History of Science: The Puzzle of the Bohr–Heisenberg Copenhagen Meeting”. Science-Week, Chicago 4 (20). [2009. április 11-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2009. január 20.)
↑ Fowler, Ralph H. (1926. December). „On dense matter”. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 87, 114–22. o.
↑ Sommerfeld, Arnold (1927. október 14.). „Zur Elektronentheorie der Metalle”. Naturwissenschaften 15 (41), 824–32. o. DOI:10.1007/BF01505083. (Hozzáférés: 2009. január 18.)
↑ Fowler, Ralph H. (1928. május 1.). „Electron Emission in Intense Electric Fields” (PDF). Proceedings of the Royal Society A 119 (781), 173–81. o. DOI:10.1098/rspa.1928.0091. JSTOR 95023.
↑ (Reif 1965, p. 341)
↑ (Reif 1965, pp. 340–2)
↑ (Blakemore 2002, p. 11)
↑ Kittel, Charles. Thermal Physics, 2nd, San Francisco: W. H. Freeman, 357. o. (1980). ISBN 978-0716710882

További információk

Pintér Ferenc: Általános fizika, Atomhéjfizika). (hely nélkül): Dialóg Campus Kiadó. 2003. 569–575. o.
http://www.bmf.hu/users/grollerg/Villamosiparianyagismeret/prezentaciok/07Villamos-tul.pdf^{[halott link]}
http://www.vilaglex.hu/Fizika/Html/FermiSzi.htm
http://www.jegyzet.hu/uploaded/474/02_-_elektro2.pdf^{[halott link]}
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/solids/fermi.html
http://kando.prociweb.hu/letoltes/data/3.evfolyam/EE_Alkatresz/Mikroelektronika%20%E9s%20f%E9lvezet%F5%20%E1ramk%F6r%F6k%20tervez%E9se/MikroTerv4SzilardtFiz2.pdf^{[halott link]}

[Fermi1926-1] Fermi, Enrico (1926). „Sulla quantizzazione del gas perfetto monoatomico” (olasz nyelven). Rend. Lincei 3, 145–9. o. , translated as (1999. december 14.) „On the Quantization of the Monoatomic Ideal Gas”.

[Dirac1926-2] Dirac, Paul A. M. (1926). „On the Theory of Quantum Mechanics”. Proceedings of the Royal Society, Series A 112 (762), 661–77. o. DOI:10.1098/rspa.1926.0133. JSTOR 94692.

[Kittel1971Cel249-3] (Kittel 1971, pp. 249–50)

[Science-Week2000-4] (2000. május 19.) „History of Science: The Puzzle of the Bohr–Heisenberg Copenhagen Meeting”. Science-Week, Chicago 4 (20). [2009. április 11-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2009. január 20.)

[Fowler1926-5] Fowler, Ralph H. (1926. December). „On dense matter”. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 87, 114–22. o.

[sommerfeld1927-6] Sommerfeld, Arnold (1927. október 14.). „Zur Elektronentheorie der Metalle”. Naturwissenschaften 15 (41), 824–32. o. DOI:10.1007/BF01505083. (Hozzáférés: 2009. január 18.)

[Fowler1928-7] Fowler, Ralph H. (1928. május 1.). „Electron Emission in Intense Electric Fields” (PDF). Proceedings of the Royal Society A 119 (781), 173–81. o. DOI:10.1098/rspa.1928.0091. JSTOR 95023.

[Reif1965dist341-8] (Reif 1965, p. 341)

[Reif1965dist-9] (Reif 1965, pp. 340–2)

[Blakemore2002p11-10] (Blakemore 2002, p. 11)

[KittelKroemer1980-11] Kittel, Charles. Thermal Physics, 2nd, San Francisco: W. H. Freeman, 357. o. (1980). ISBN 978-0716710882

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]