Ugrás a tartalomhoz

Faktorizációs tétel

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A polinomfaktorizációs tétel az algebra egy tétele, amely a polinommaradék-tétel egy speciális esete.[1]

A faktorizációs tétel azt állítja, hogy az polinomnak akkor és csak akkor osztója , ha (vagyis ha egy gyöke az polinomnak).[2]

Polinomok faktorizációja

[szerkesztés]

A tételt leggyakrabban polinomok faktorizációjánál és algebrai egyenletek megoldásánál alkalmazzák (mivel ezek a problémák lényegében ekvivalensek).

A tételt úgy alkalmazzák, hogy az ismert gyökökhöz tartozó gyöktényezőket „kiemelik”, így egy alacsonyabb fokú polinomot kell felbontani a többi gyök megtalálása érdekében (amely vélhetőleg könnyebb). A módszer leírható így:[3]

  1. „Tippelgetéssel” vagy valamilyen más módon keressük meg az polinom egy gyökét, -t. (A valóságban általában ez a feladat nagyon nehéz, de a tankönyvi példák gyakran úgy készülnek, hogy ez a lépés könnyen megoldható legyen.)
  2. A fenti tételt felhasználva állapítsuk meg, hogy osztója -nek.
  3. Számítsuk ki a polinomot például polinomosztással.
  4. Vegyük észre, hogy bármely megoldása, megoldása a egyenletnek. Mivel a polinom foka eggyel kisebb mint, -é, így a hátralévő megoldások megtalálását a kisebb fokú polinom gyökeinek megtalálására redukáltuk.

Példa

[szerkesztés]

Faktorizáljuk a

polinomot. Ahhoz, hogy elinduljuk kezdésnek például próbálgatással megkeressük az első olyan x értéket amire a kifejezés helyettesítési értéke 0 (vagyis gyöke a polinomnak). Például ahhoz, hogy megtudjuk, hogy a fenti polinomnak a faktora-e (vagyis hogy maradék nélküli osztója-e), -et helyettesítünk a fenti polinomba:

Mivel a helyettesítési érték 18 és nem 0 ez azt jelenti, hogy nem faktora az -nek. Legyen a következő kísérletünk az (vagyis helyettesítsünk -et a polinomba):

Mivel az eredmény most , így , vagyis , osztója a polinomnak, pedig egy gyöke a polinomnak.

A másik két gyököt megtalálhatjuk ha elosztjuk polinomosztással -gyel és az így kapott másodfokú polinom gyökeit direkt módon (a másodfokú egyenlet megoldóképletével) megkeressük.

így és osztói a polinomnak.

Általánosan

[szerkesztés]

Legyen egy egyváltozós polinom úgy, hogy az együtthatói egy kommutatív gyűrűből származnak és legyen . Ekkor akkor és csak akkor, ha valamely polinomra.

Ha adott egy polinom és minden gyökét meg kívánjuk találni és adott akkor kiszámítható polinomosztással, majd további gyökeit faktorizációjával kaphatjuk meg.

Fordítás

[szerkesztés]
Ez a szócikk részben vagy egészben a Factor theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

[szerkesztés]
  1. Sullivan, Michael (1996), Algebra and Trigonometry, Prentice Hall, p. 381, ISBN 0-13-370149-2
  2. Sehgal, V K & Gupta, Sonal, Longman ICSE Mathematics Class 10, Dorling Kindersley (India), p. 119, ISBN 978-81-317-2816-1
  3. Bansal, R. K., Comprehensive Mathematics IX, Laxmi Publications, p. 142, ISBN 81-7008-629-9.