Függvények relációalgebrája

Minthogy a matematika sztenderdnek tekinthető, halmazelméleti felépítésében a függvények speciális relációk, ezért a függvényekre is értelmezhetőek mindazon relációalgebrai tulajdonságok, melyek a relációk vizsgálata, osztályzása során fontossággal bírnak.

Alapvető kérdés, hogy a függvényekkel végzett relációoperációk milyen feltételek mellett őrzik meg a reláció egyértelműségét, azaz függvény voltát. Ezen felül általában problémának számít az, hogy ha egy függvény rendelkezik valamilyen, a relációkalkulus által vizsgálható tulajdonsággal, az hogyan őrződik meg (vagy épp veszik el) a függvénnyel végzett valamilyen relációoperáció során.

Függvények relációalgebrai tulajdonságai

Injektív függvény

Azt mondjuk, hogy az f :A $\rightarrow$ B függvény injektív, ha különbözőkhöz különbözőket rendel, azaz

$(\forall x_{1},x_{2}\in A)(x_{1}\neq x_{2}\;\Rightarrow \;f(x_{1})\neq f(x_{2})$ vagy másként:

$(\forall x_{1},x_{2}\in A)(f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2})$

Ekkor még azt is mondjuk, hogy f injekció A-ból B-be, illetve néha, hogy f kölcsönösen egyértelmű vagy egy-egy értelmű.

Az injektív tulajdonság az alapja számos egyenlet szokásos megoldási módjának. Például:

$\mathrm {log} _{a}\,x_{1}=\mathrm {log} _{a}\,x_{2}$
$\Downarrow$
$x_{1}=x_{2}\,$

nem 1, pozitív a esetén vagy

$a^{x_{1}}=a^{x_{2}}\,$
$\Downarrow$
$x_{1}=x_{2}\,$

szintén nem 1, pozitív a esetén.

Az injektív függvények relációinverze szintén függvény (illetve függvényszerű).

Egy f :A $\rightarrow$ B függvény pontosan akkor injektív, ha van balinverze.

Szürjektív függvény

Azt mondjuk, hogy az f: A $\rightarrow$ B függvény szürjekció A és B között, vagy ráképez B-re, ha B minden eleme előáll az A halmaz valamely elemének f általi képeként, azaz:

$(\forall y\in B)(\exists x\in A)(\,f(x)=y\,)$

Ha a függvény az (A, B, f) algebrai szemléletű definíció szerint van definiálva, akkor még azt is mondják, hogy szürjektív. Ez a megfogalmazás a halmazelméleti definíció esetén értelmetlen, mert ekkor nincs kijelölve az a halmaz, amelyre f ráképez.

Röviden mindez azt jelenti, hogy B = Ran(f). Szokás még használni az f:A$\rightarrow$ B ráképez H-ra kijelentést is arra az esetre, ha H ⊆ Ran(f).

Egy f:A$\rightarrow$ B függvénynek pontosan akkor van B$\rightarrow$ A típusú jobbinverze, ha f ráképez B-re.

Bijektív függvény

Az f:A$\rightarrow$ B függvényről azt mondjuk, hogy bijekció A-ból B-be, ha injektív és ráképez B-re. Sokszor az ilyen függvényre mondják, hogy kölcsönösen egyértelmű vagy egy-egy értelmű annak ellenére, hogy az injektív függvényeket is így nevezik.

Ha a függvény az (A, B, f) algebrai szemléletű definíció szerint van definiálva, akkor az előbbi esetben még azt is mondják, hogy bijektív. Ez a megfogalmazás a halmazelméleti definíció esetén értelmetlen, mert ekkor nincs kijelölve az a halmaz, amelyre f ráképez.

Függvényműveletek

Függvényszorzás vagy függvénykompozíció

A függvények körében értelmezett művelet az függvénykompozíció, avagy az összetett vagy közvetett függvény képzése. Ha g : A $\rightarrow$ B és f : C $\rightarrow$ D két függvény, akkor ezeknek kompozíciója az a függvény, melynek értelmezési tartománya az A azon elemeiből áll, melyeket a g az f értelmezési tartományába képezi és melynek hozzárendelési utasítása:

$f\circ g:\;x\mapsto f(g(x))$

Itt g-t a kompozíció belső függvényének, az f-et a külső függvényének nevezzük.

Az g : A $\rightarrow$ B és f : C $\rightarrow$ D függvények f o g kompozíciójának értelmezési tartománya tehát:

$\mathrm {Dom} (f\circ g)=\{x\in A\mid g(x)\in C\}$

Néha a kompozíció definíciójában kikötik, hogy ez ne legyen üres, amit biztosíthatunk azzal a megkötéssel, hogy se A, se Ran(g) ∩ C ne legyen üres. Abban a speciális esetben, amikor g értékkészlete része C-nek, a kompozíció a teljes A halmazon értelmezve van, tehát f o g egy A $\rightarrow$ D függvény. Ha ezen kívül B = C és g és f is szürjekció (értsd: g ráképez B-re, f ráképez D-re), akkor f o g is szürjekció.

A függvénykompozíció művelete asszociatív:

$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$

Identitásfüggvény

Minden H halmaz esetén van egy kitüntetett jelentőségű függvény, mely H-n értelmezett és H-ra képez, az

$\mathrm {id} _{H}:H\rightarrow H;\;x\mapsto x$

függvény, melyet a H-n értelmezett identitásfüggvénynek nevezünk. Minden f : A $\rightarrow$ B függvényre

$f\circ \mathrm {id} _{A}=f$ és $\mathrm {id} _{B}\circ f=f$

Inverz

Ha egy f: A $\rightarrow$ B bijekció A és B között (különbözőkhöz különbözőket rendel és ráképez B-re), akkor létezik inverze, azaz egyetlen olyan f⁻¹ függvény, melyre:

$f\circ f^{-1}=\mathrm {id} _{B}$ és $f^{-1}\circ f=\mathrm {id} _{A}$

Itt id_A az identitás leképezés, tehát az A $\rightarrow$ A; x $\mapsto$ x függvény.

Néhány tulajdonság:

$(f^{-1})^{-1}=f\;$

$(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$

feltéve, hogy a fenti egyenlőségek mindkét oldala értelmezett.