Exponenciális függvények értékeinek kiszámítása

Ez a cikk az $e^{x}$ exponenciális függvény értékeinek numerikus kiszámításával foglalkozik.

Algoritmus

Az exponenciális, $e^{x}$ , függvény Maclaurin-sora

$e^{x}$ = 1 + x + ${\frac {x^{2}}{2!}}$ + ${\frac {x^{3}}{3!}}$ + ... + ${\frac {x^{n}}{n!}}$ + ...

A sor konvergens a teljes valós számhalmazon. A maradéktag

$R_{n}(x)$ = ${\frac {e^{\Theta x}}{(n+1)!}}$$x^{n+1}$ (0 < θ < 1),

ahol a számláló kitevőjében a nagy theta jelölés szerepel. A maradéktag meredeken nő az x abszolút értékével, ezért lehetőleg kis értékek szerint kell a sorfejtést végezni. Ez elérhető a kitevő felbontásával egész- és törtrészre. Valóban, tetszőleges x érték felírható

x = [x] + q,

alakban, ahol [x] az x egészrésze és 0 ≤ q < 1 a törtrész, például: $4{,}7=4+0{,}7$, $-2{,}45=-3+0{,}55$. Tehát

$e^{x}=e^{[x]}\cdot e^{q}$.

Az első tényező egész kitevős hatvány, így értékét iterált szorzással kapjuk meg:

$e^{[x]}=e\cdot \ldots \cdot e$, ha $x\geq 0$ ,

illetve

$e^{x}={\frac {1}{e}}{\frac {1}{e}}...{\frac {1}{e}}$, ha $x<0$,

ahol $e=2{,}718281828459045\pm 5\cdot 10^{-16}$ az Euler-féle szám.

A sorfejtést tehát csak a második tényezőre kell kiszámolni:

$e^{q}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g^{n}}{n!}}$

Mivel q < 1, a fenti sorozat a fentieknek megfelelően gyorsan konvergál, és a maradéktag

$0\leq R_{n}(g)<{\frac {3}{(n+1)!}}q^{n+1}$

Az tagok rekurrenciás kapcsolata:

$T_{0}=u_{0}=1$ , $u_{n+1}=u_{n}\cdot {\frac {x}{n+1}}$ .

Pszeudokód

Az exponenciális függvényt számító algoritmus:

function TaylorExp( in: x, ε out: T )
u ← 1
n ← 0
T ← 1
repeat
u ← u*(x/n+1)
T ← T + u
n ← n + 1
until |u| < ε
return T
end function

Példa

Alkalmazásként határozzuk meg ${\sqrt {e}}$-t $10^{-7}$ hibán belül. Ez esetben x = 1/2 tehát a rekurrenciás képlet:

$u_{0}=0$ , $u_{n+1}=u_{n}{\frac {1}{2(n+1)}}$ , k=(1, 2, . . .)

	un	Tn
0	1	1
1	0.5	1.5
2	0.125	1.625
3	0.0208333333333	1.64583333333
4	0.00260416666667	1.6484375
5	0.000260416666667	1.64849791667
6	2.17013888889e-05	1.64871961806
7	1.55009920635e-06	1.64872116815
8	9.68812003968e-08	1.65872126504

A pontos érték 1.6487212707...

Források

• Lázár Zsolt, Lázár József, Járai-Szabó Ferenc: Numerikus módszerek, Kolozsvári Egyetemi Kiadó, 2008