Euler sejtése hatványok összegéről

Euler sejtése hatványok összegéről, amely a nagy Fermat-tétel egyféle általánosítása, 1769-től 1966-ig volt sejtés, amikor megcáfolták.

Euler a sejtést 1769-ben fogalmazta meg a következőképpen:

Ha n és k 1-nél nagyobb természetes számok, akkor ha léteznek az $x_{1},x_{2},....,x_{n},y$ természetes számok úgy, hogy $x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+....+x_{n}^{k}=y^{k}$, akkor $n\geq k,$ azaz csak legalább $k$ szám $k$-adik hatványának az összege lehet egy szám $k$-adik hatványa.

$n=2$-re kapjuk a nagy Fermat-tételt, amely sokáig szintén sejtés volt.

L. J. Lander és T. R. Parkin 1966-ban számítógéppel a következő ellenpéldát találták a sejtésre:

$27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}$.

Ezzel bebizonyították, hogy általában nem igaz Euler sejtése. Eredményüket egy nyolcsoros cikkben közölték.

A sejtés $k=2$ és $k=3$ értékekre igaz, $k=4$ és $k=5$ értékekre nem igaz. Más értékre nem tudni, hogy igaz-e vagy sem.

Források

• L.E. Dickson: History of the theory of numbers, vol. 2. Chelsea, New York, 1952. p. 648.
• L. J. Lander, T. R. Parkin: Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers, Bull. Amer. Math. Soc. 72, 6 (1966) p. 1079.