Euler-összefüggés

A matematikában Euler-összefüggésnek nevezik a következő egyenlőséget:

$e^{i\pi }+1=0$

ahol

e az Euler-féle szám, a természetes logaritmus alapja,

i az imaginárius egység, amelyre igaz az i² = −1 egyenlőség,

a pí szám, a kör kerületének és átmérőjének aránya.

A fenti összefüggést Leonhard Euler svájci matematikusról nevezték el.

Levezetése

Az $\left(e^{t}\right)'=e^{t}$ formula segítségével könnyen Taylor-sorba fejthetjük $e^{it}$-t!

$e^{it}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}$

A $\sin(t)$ és a $\cos(t)$ függvények Taylor-sora pedig

$\sin(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}t^{2k+1}$

illetve

$\cos(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}t^{2k}$

Vegyük észre, hogy $e^{it}$ felbontható az alábbi módon:

$e^{it}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(it)^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(it)^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}t^{2k}+i\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}t^{2k+1}$

Azaz

$e^{it}=\cos(t)+i\cdot \sin(t),$

speciálisan $t=\pi$-re kapjuk a nevezetes

$e^{i\pi }+1=0$

egyenlőséget.