Diffúziós egyenlet
A diffúziós egyenlet az anyagban végbemenő diffúziós folyamat dinamikai sűrűségét leíró parciális differenciálegyenlet. A diffúziós egyenlet a diffúziószerű viselkedés leírására – például az allélek diffúziója a populációgenetikában[1] – is használható.
Képlet
[szerkesztés]
![{\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\big [}D(\phi ,\mathbf {r} )\ \nabla \phi (\mathbf {r} ,t){\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/948a15942a9ac71f7c08edb85cb28c88d3d3cfdf)
ahol ϕ(r, t), az r helyen lévő anyag sűrűsége, t , az idő, és D(ϕ, r) a együttes diffúziós együttható az r helyen lévő ϕ sűrűségnél, és ∇ reprezentálja a vektor differenciáloperátort. Ha a diffúziós együttható függ a sűrűségtől, akkor az egyenlet nemlineáris, máskülönben lineáris. Még általánosabban, ha D szimmetrikus pozitív definit mátrix, akkor az egyenlet anizotróp (lásd izotrópia) diffúziót ír le, melynek képlete (háromdimenziós diffúzió):
![{\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{ij}(\phi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial x_{j}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a834bc395bf7a4cbc476fc91c39c7b89c49092f)
Ha D konstans, akkor az egyenlet a következő lineáris differenciálegyenletté egyszerűsödik: melyet hőegyenletnek is hívnak.
Történet
[szerkesztés]A diffúziós egyenlet eredete visszanyúlik az Fick-féle részecskékre vonatkozó diffúziós egyenletre, melyet Adolf Fick állított fel 1855-ben.[2]
Diszkretizálás
[szerkesztés]A diffúziós egyenlet mind térben, mind időben, folytonos. Lehetséges diszkretizálni térben és időben vagy külön-külön, az alkalmazástól függően. A diszkretizálásra akkor van főleg szükség, ha digitális számítógépen történik a további felhasználás. A diszkretizáláskor időszeletekre bontjuk a folytonos függvényt, mely nem befolyásolja a jelenséget. Ha csak a térben történik a diszkretizálás, akkor a diszkrét Gauss-kernel alkalmazható. Ha térben és időben egyszerre diszkretizálunk, akkor a véletlenszerű mozgás (bolyongás) módszere használható.
Források
[szerkesztés]- ↑ Archivált másolat. [2012. április 15-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2013. február 5.)
- ↑ A. Fick, Ueber Diffusion, Pogg. Ann. Phys. Chem. 170 (4. Reihe 94), 59-86 (1855).
Irodalom
[szerkesztés]- Crank, J: The Mathematics of Diffusion. Oxford: Clarendon Press. 1956.
- Thambynayagam, R. K. M: The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers. (hely nélkül): McGraw-Hill. 2011.