A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A Cramer-szabály a lineáris egyenletrendszerek egyik megoldási módja. A megoldások az egyenletrendszerből képzett mátrixok determinánsainak hányadosaiként adódnak. Nevét Gabriel Cramer (1704–1752) svájci matematikusról kapta, aki 1750 -ben először általánosan megfogalmazta.
Tekintsük a következő n darab n ismeretlenes lineáris egyenletből álló egyenletrendszert:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
b
1
,
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
b
2
,
⋮
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
⋯
+
a
n
n
x
n
=
b
n
.
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\,,\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\,,\\&&&\vdots &\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{nn}x_{n}&=&b_{n}\,.\end{matrix}}}
Ennek mátrixos felírása a következő:
A
x
=
b
,
{\displaystyle Ax=b\,,}
ahol
A
=
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
)
,
x
=
(
x
1
x
2
⋮
x
n
)
,
b
=
(
b
1
b
2
⋮
b
n
)
.
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,,\quad x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,,\quad b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}\,.}
Ha most Bi -vel jelöljük azokat az A -ból képzett mátrixokat, melyek i . oszlopa helyén a b vektor áll, azaz
B
i
=
(
a
1
,
1
⋯
a
1
,
i
−
1
b
1
a
1
,
i
+
1
⋯
a
1
,
n
a
2
,
1
⋯
a
2
,
i
−
1
b
2
a
2
,
i
+
1
⋯
a
2
,
n
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
a
n
,
1
⋯
a
n
,
i
−
1
b
n
a
n
,
i
+
1
⋯
a
n
,
n
)
,
{\displaystyle B_{i}={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&\cdots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{n,n}\end{pmatrix}}\,,}
és
det
(
A
)
≠
0
,
{\displaystyle \det(A)\neq 0\,,}
akkor
x
i
=
det
(
B
i
)
det
(
A
)
{\displaystyle x_{i}={\frac {\det(B_{i})}{\det(A)}}}
i esetén (és 1 ≤ i ≤ n ). Itt a
det
{\displaystyle \det }
Mivel det(A ) ≠ 0, ezért A invertálható mátrix . Jelölje A inverzét A –1 . Szorozzuk meg az Ax = b egyenlet mindkét oldalát balról A –1 -zel, ekkor
x
=
A
−
1
b
=
1
det
(
A
)
a
d
j
(
A
)
b
,
{\displaystyle x=A^{-1}b={\frac {1}{\det(A)}}\mathrm {adj} (A)b\,,}
ahol az adj(A ) az A mátrix adjungáltját jelöli. Részletesen felírva az adjungáltat azt kapjuk, hogy
(
x
1
x
2
⋮
x
n
)
=
1
det
(
A
)
(
A
11
A
21
⋯
A
n
1
A
12
A
22
⋯
A
n
2
⋮
⋮
⋱
⋮
A
1
n
A
2
n
⋯
A
n
n
)
(
b
1
b
2
⋮
b
n
)
,
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={1 \over {\det(A)}}{\begin{pmatrix}{A}_{11}&{A}_{21}&\cdots &{A}_{n1}\\{A}_{12}&{A}_{22}&\cdots &{A}_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{A}_{1n}&{A}_{2n}&\cdots &{A}_{nn}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}\,,}
ahol az Aij az A mátrix i -edik sorához és j -edik oszlopához tartozó előjeles aldetermináns értéke. A fenti mátrixszorzást soronként elvégezve oda lyukadunk ki, hogy minden i -re
x
i
=
A
1
i
b
1
+
A
2
i
b
2
+
⋯
+
A
n
i
b
n
det
(
A
)
,
{\displaystyle x_{i}={\frac {A_{1i}b_{1}+A_{2i}b_{2}+\cdots +A_{ni}b_{n}}{\det(A)}}\,,}
és a tört számlálójában éppen a Bi determinánsa szerepel az i . oszlopa szerint kifejtve .
Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert!
x
+
3
y
−
2
z
=
5
3
x
+
5
y
+
6
z
=
7
2
x
+
4
y
+
3
z
=
8
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;3y&\;-&\;2z&\;=&\;\color {red}{5}\\3x&\;+&\;5y&\;+&\;6z&\;=&\;\color {red}{7}\\2x&\;+&\;4y&\;+&\;3z&\;=&\;\color {red}{8}\end{alignedat}}}
A Cramer-szabály segítségével a megoldások a következők:
x
=
|
5
3
−
2
7
5
6
8
4
3
|
|
1
3
−
2
3
5
6
2
4
3
|
=
60
−
4
=
−
15
,
y
=
|
1
5
−
2
3
7
6
2
8
3
|
|
1
3
−
2
3
5
6
2
4
3
|
=
−
32
−
4
=
8
,
z
=
|
1
3
5
3
5
7
2
4
8
|
|
1
3
−
2
3
5
6
2
4
3
|
=
−
8
−
4
=
2.
{\displaystyle x={\frac {\,\left|{\begin{matrix}\color {red}{5}&3&-2\\\color {red}{7}&5&6\\\color {red}{8}&4&3\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}}={\frac {60}{-4}}=-15,\;\;\;\;y={\frac {\,\left|{\begin{matrix}1&\color {red}{5}&-2\\3&\color {red}{7}&6\\2&\color {red}{8}&3\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}}={\frac {-32}{-4}}=8,\;\;\;\;z={\frac {\,\left|{\begin{matrix}1&3&\color {red}{5}\\3&5&\color {red}{7}\\2&4&\color {red}{8}\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}}={\frac {-8}{-4}}=2.}
Ellenőrzés:
-15 + 3·8 – 2·2 = -15 + 24 – 4 = 5.
3·(-15) + 5·8 + 6·2 = -45 + 40 + 12 = 7.
2·(-15) + 4·8 + 3·2 = -30 + 32 + 6 = 8.
Ha det(A ) = 0
Ha det(A ) ≠ 0
Ha
b
=
0
→
,
{\displaystyle b={\vec {0}}\,,}
homogén
Az
x
=
0
→
{\displaystyle x={\vec {0}}}
LU felbontás
Egy triviális megoldás van, az
x
=
0
→
;
{\displaystyle x={\vec {0}}\,;}
Ha
b
≠
0
→
,
{\displaystyle b\neq {\vec {0}}\,,}
A Cramer-szabály nem használható, de lehetséges, hogy vannak megoldások. A Kronecker–Capelli-tétel szerint ellenőrizni kell, hogy az eredeti és a kibővített mátrix rangja megegyezik-e. Ha van megoldás, akkor az a rangok Gauss-eliminációval való meghatározása során előáll.
Egy megoldás van és megtalálására a Cramer-szabály használható
Ha kevesebb egyenletünk van, mint ahány ismeretlen, akkor nem alkalmazható.
Nagy n -ek esetén a determinánsok kiszámolása hosszadalmas, ezért más megoldási módszereket használnak. 
