Champernowne-állandó

A matematika, azon belül a transzcendenciaelmélet területén a $C 10$ Champernowne-állandó egy transzcendens valós állandó, aminek a tízes számrendszerbeli kifejtése fontos tulajdonságokkal rendelkezik. Nevét David Champernowne közgazdász-matematikusról kapta, aki még egyetemistaként cikket jelentetett meg róla 1933-ban.

Tízes számrendszerban a számot az egymást követő természetes számok egymás után írásával állítjuk elő:

C 10 = 0,12345678910111213141516\dots

(A033307 sorozat az OEIS-ben).

Hasonló módon más számrendszerekben is elő lehet állítani Champernowne-állandókat, lásd például:

C 2 = 0,11011100101110111\dots 2

C 3 = 0,12101112202122\dots 3

.

A Champernowne-konstans pontosan kifejezhető végtelen sor formájában:

C_{10}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=10^{n-1}}^{10^{n}-1}{\frac {k}{10^{n(k-10^{n-1}+1)+9\sum _{\ell =1}^{n-1}10^{\ell -1}\ell }}}

és ez a sor általánosítható tetszőleges $b$ számrendszerre, ha a képletben a 10-et, illetve a 9-et $b$ -re, illetve $b - 1$ -re cseréljük.

A Champernowne-szó vagy Barbier-szó alatt a C_k számjegyeinek sorozata értendő.^[1]^[2]

Normalitás

Egy x valós szám akkor normális, ha számjegyei minden számrendszerben egyenletes eloszlásúak: minden számjegy egyforma valószínűséggel fordul elő, minden számjegypáros, számjegyhármas stb. egyforma valószínűséggel fordul elő; x adott b számrendszerben normális, ha számjegyei b számrendszerben felírva egyenletes eloszlást követnek.

Ha számjegyek láncolatát [a₀,a₁,...]-vel jelöljük, egy normális számnál arra számítunk, hogy tízes számrendszerben a [0],[1],[2],...,[9] mindegyike 1/10 valószínűséggel, a [0,0],[0,1],...,[9,8],[9,9] 1/100 valószínűséggel jelentkezne.

Champernowne bebizonyította, hogy $C_{10}$ tízes számrendszerben normális, bár előfordulhat, hogy más számrendszerekben nem az.^[3]

Lánctörtbe fejtés

A Champernowne-konstans egyszerű lánctörtbe fejtését is tanulmányozták. Kurt Mahler megmutatta a konstansról, hogy transzcendens;^[4] ebből az is nyilvánvaló, hogy lánctört alakja nem véges (mivel nem racionális) és nem periodikus (mivel nem racionális együtthatós másodfokú egyenlet megoldása).

A lánctörtbe fejtéskor kapott tagok rendkívül kiszámíthatatlanul viselkednek, az egészen kicsi tagok között meglepetésszerűen hatalmas nagyok is megjelennek. Például tízes számrendszerben:

C₁₀ = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15,

4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987,

6, 1, 1, 21, 1, 9, 1, 1, 2, 3, 1, 7, 2, 1, 83, 1, 156, 4, 58, 8, 54, ...]. (A030167 sorozat az OEIS-ben)

A sorozat 19. eleme 166 jegyű, a következő igen nagy tag, a 41. pedig 2504 számjegyből áll. Az ilyen óriási méretű tagok megjelenése másként megfogalmazva azt jelenti, hogy az órási méretű tagok előtti számok a Champernowne-állandó kivételesen jó diofantikus approximációját adták. Például a negyedik nevezőnél elvágva a $10/81=0,{\overline {123456790}}$ részösszeget kapjuk, ami mintegy $1 \cdot 10 -9$ hibataggal közelíti a Champernowne-állandót, míg a 18. nevezőnél elvágva:

{\frac {60499999499}{490050000000}}=0,123456789{\overline {101112\ldots 96979900010203040506070809}},

ami a Champernowne-állandót kb. $9 \cdot 10 -190$ hibával közelíti.

Az irracionalitás mértéke

A $C_{10}$ irracionalitásának mértéke éppen $\mu (C_{10})=10$ , általánosabban pedig $\mu (C_{b})=b$ bármely $b\geq 2$ alapszámra.^[5]

Kapcsolódó szócikkek

Copeland–Erdős-állandó, egy hasonló normális szám, amit prímszámok segítségével definiáltak
Liouville-szám, egy másik, tízes számrendszerbeli kifejtése segítségével definiált konstans

Jegyzetek

↑ Cassaigne & Nicolas (2010) p.165
↑ * Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. Cambridge University Press, 299. o. (2003). ISBN 978-0-521-82332-6
↑ D. G. Champernowne, The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London Mathematical Society, vol. 8 (1933), pp. 254–260
↑ K. Mahler, Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen, Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A. 40 (1937), p. 421–428.
↑ Masaaki Amou, Approximation to certain transcendental decimal fractions by algebraic numbers, Journal of Number Theory, Volume 37, Issue 2, February 1991, Pages 231–241

Factor complexity, Combinatorics, automata, and number theory, Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 163–247. o. (2010). ISBN 978-0-521-51597-9

További információk

Weisstein, Eric W.: Champernowne constant (angol nyelven). Wolfram MathWorld

[1] Cassaigne & Nicolas (2010) p.165

[2] * Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. Cambridge University Press, 299. o. (2003). ISBN 978-0-521-82332-6

[champernowne33-3] D. G. Champernowne, The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London Mathematical Society, vol. 8 (1933), pp. 254–260

[mahler-4] K. Mahler, Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen, Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A. 40 (1937), p. 421–428.

[5] Masaaki Amou, Approximation to certain transcendental decimal fractions by algebraic numbers, Journal of Number Theory, Volume 37, Issue 2, February 1991, Pages 231–241

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]