Cayley–Hamilton-tétel

Az Arthur Cayleyről és William Rowan Hamiltonról elnevezett Cayley–Hamilton-tétel a lineáris algebra, azon belül is a mátrixalgebra jelentős tétele. Azt mondja ki, hogy a komplex test feletti tetszőleges A négyzetes mátrix gyöke saját karakterisztikus polinomjának.

Ha A egy adott n × n-es mátrix és I_n az n × n-es egységmátrix, akkor A karakterisztikus polinomja a $p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)$ polinom, ahol det a determináns és λ a polinom változója. A Cayley–Hamilton egyenlet azt állítja, hogy ha ebbe az egyenletbe λ helyett A-t írunk, akkor az eredmény a nullmátrix lesz, vagyis $p_{A}(A)=\mathbf {0}$ .

A tételt először Hamilton bizonyította 1862-ben, de csak egy speciális esetben, a kvaterniók által alkotott vektortérre.

Példa

Legyen

$A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$

Akkor A karakterisztikus polinomja

$p(\lambda )={\begin{vmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{vmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3=\lambda ^{2}-5\lambda -2.$

Így

$p(A)=A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}5&10\\15&20\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\\end{pmatrix}}=$

$={\begin{pmatrix}7&10\\15&22\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}5&10\\15&20\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}},$

ami egybevág a tétel állításával.

Ekvivalens megfogalmazás

A tétel ekvivalens azzal az állítással, hogy az A négyzetes mátrix minimálpolinomja osztója A karakterisztikus polinomjának.

Valóban, ha a A minimálpolinomja $m$, akkor definíció szerint A kielégíti $m$-et és így ha $m$ osztója A karakterisztikus polinomjának, akkor A kielégíti azt is.

Megfordítva, A minimálpolinomja, $m$, osztója minden olyan polinomnak, amelynek A gyöke, így ha A gyöke a saját $p$ karakterisztikus polinomjának, akkor $m$ szükségképpen osztója $p$-nek.

Általánosítás

Noha a tétel eredeti formájában a komplex test feletti mátrixokról szól, az állítás tetszőleges kommutatív gyűrű felett is igaz.