Callan–Symanzik-egyenlet

A fizikában a Callan–Symanzik-egyenlet egy differenciálegyenlet, amely leírja az n-pont korrelációs függvények változását azon energiaskála függvényében, amelyen az elmélet definiálva van. Az egyenlet tartalmazza az adott elmélet egyes relativisztikus kvantummezőire vonatkozó β-függvényét és az anomális dimenziókat. Az egyenletet Curtis Gove Callan amerikai és Kurt Symanzik német fizikusról nevezték el.

Matematikai levezetés

Legyen adott egy renormalizált kvantumtérelmélet, ekkor a renormalizációs feltételek meghatározzák az elmélet n-pont korrelációs függvényeit tetszőleges bemeneti skálán. A renormalizáció során bevezetünk egy tetszőleges skálát (μ), amely lehetővé teszi, hogy a korrelációs függvények (a térelmélet különböző pontjai közötti kapcsolatokat leíró mennyiségek) értékeit meghatározzuk különböző energiaszinteken vagy hosszúságskálákon.

Az n-pont korrelációs függvények meghatározhatók a partíciós függvény és a forrásmező segítségével:

$G^{(n)}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-i)^{n}{\frac {1}{Z[J]}}\left.{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}\right|_{J=0}=\langle {\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\cdots \phi (x_{n})\}\rangle$

A renormalizációból adódóan meghatározható a renormalizált és a csupasz (nem-renormalizált) kvantummezők közötti összefüggés a következő módon:

$\langle {\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\cdots \phi (x_{n})\}\rangle =Z^{n/2}\langle {\mathcal {T}}\{\phi _{0}(x_{1})\phi _{0}(x_{2})\cdots \phi _{0}(x_{n})\}\rangle$,

vagy máshogy megfogalmazva

$Z^{n/2}G_{R}^{(n)}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\lambda ,\mu )=G_{0}^{(n)}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\lambda _{0},\Lambda ).$

Az egyenletben a nem-renormalizált n-pont korrelációs függvények az eredeti (csupasz), nem-renormalizált paraméterektől ($\Phi _{0},\lambda _{0},\dots$) és a levágási skálától ($\Lambda$) függenek. Másrészt a renormalizált korrelációs függvények a renormalizált paraméterektől ($\Phi ,\lambda ,\mu ,\dots$) és a renormalizációs skálától (µ) függenek. Vizsgáljuk meg, hogy a renormálási skála infinitezimális megváltozására $\mu \to \mu +\delta \mu$, hogyan változik a fentebbi egyenlet jobb- és bal oldala. Mivel a jobb oldalon szereplő nem-renormalizált n-pont korrelációs függvény nem függ a renormálási skálától, ezért igaz a következő összefüggés:

${\dfrac {dG_{0}^{(n)}}{d\mu }}=0.$

Viszont a renormalizált paraméterek függnek a renormálási skálától, ezért igaz lesz, hogy $\lambda \to \lambda +\delta \lambda$, illetve $\Phi \to (1+\delta \eta )\Phi$, ahol $\delta \eta =\delta \Phi /\Phi$. Ez alapján a fentebbi egyenlet baloldala a következő módon fog kinézni:

${\dfrac {d}{d\mu }}Z^{n/2}G^{(n)}={\dfrac {\partial G^{(n)}}{\partial \mu }}+{\dfrac {\partial G^{(n)}}{\partial \lambda }}{\dfrac {\partial \lambda }{\partial \mu }}-n{\dfrac {\partial \eta }{\partial \mu }}G^{(n)}=0$, ahol $Z^{1/2}=(1+\delta \eta ).$

Átalakítva az előbbi egyenletet a következő alakra hozható:

$\left(\mu {\dfrac {\partial }{\partial \mu }}+\mu {\dfrac {\partial }{\partial \lambda }}{\dfrac {\partial \lambda }{\partial \mu }}-n\mu {\dfrac {\partial \eta }{\partial \mu }}\right)G_{R}^{(n)}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\lambda ,\mu )=0.$

Az egyenletben szereplő $\mu {\dfrac {\partial \lambda }{\partial \mu }}=\beta$ függvényt béta-függvénynek, míg a $\mu {\dfrac {\partial \eta }{\partial \mu }}=\gamma$ tagot anomális dimenziónak nevezzük. Bevezetve ezeket a jelöléseket jutunk a Callan–Symanzik-egyenlet általánosan használt alakjához:

$\left(\mu {\dfrac {\partial }{\partial \mu }}+\beta {\dfrac {\partial }{\partial \lambda }}-n\gamma \right)G_{R}^{(n)}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\lambda ,\mu )=0$

A fentebb definiált $\beta$-függvény azt méri, hogy a csatolás hogyan függ a renormalizációs skálától ($\mu$), míg az anomális dimenzió a mező renormalizációjának µ-függését határozza meg. A renormalizáció ellentagokkal történő kifejezése esetén a korrelációs függvények µ-függése az ellentagok bevezetéséből ered, amelyeket a divergenciák kiküszöbölésére vezetnek be. Így megállapítható a közvetlen kapcsolat az ellentagok és a fentebb definiált tagok között.