Bolzano-tétel

A Bolzano-tétel szerint intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő, folytonos függvénynek van zérushelye.

Bizonyítás

Egymásba skatulyázott intervallumokkal

Legyen $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ a fenti függvény és a illetve b az értelmezési tartományának olyan pontjai, melyekben a függvény előjele ellenkező és a < b. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy $f(a)<f(b)$. Intervallumfelezéses eljárással megmutatjuk, hogy a függvénynek van zérushelye. Legyen $(x_{n})$ és $(y_{n})$ a következő, közösen, rekurzív módon definiált sorozat:

$x_{0}:=a\,$

$y_{0}:=b\,$

Tetszőleges $n\in \mathbb {N}$-re legyen

$c_{n}:={\frac {x_{n}+y_{n}}{2}}$

Ha $f(c_{n})=0\,$, akkor megtaláltuk f egy keresett zérushelyét.
Ha $f(c_{n})<0~\Rightarrow x_{n+1}:=c_{n};\quad y_{n+1}:=y_{n}$
Ha $f(c_{n})>0~\Rightarrow x_{n+1}:=x_{n};\quad y_{n+1}:=c_{n}$

Ha c sosem nulla, akkor: $x_{n}:f(x_{n})<0~(n\in \mathbb {N} )$ monoton nő, $y_{n}:f(y_{n})>0~(n\in \mathbb {N} )$ monoton csökken, mivel az algoritmust így készítettük el.
A két sorozat tagjainak „távolsága”: $\left|x_{n}-y_{n}\right|={\frac {y_{0}-x_{0}}{2^{n}}}\to 0~(n\to \infty )(*)$. Mivel $x_{n},y_{n}\in [a,b]$ zárt intervallum, és mert mindkét sorozat monoton, $\exists \lim(x_{n})$ és $\lim(y_{n})$, és ezek (*) miatt egyenlőek. Legyen ez a határérték ξ!

De f folytonos ξ-ben, tehát a folytonosságra vonatkozó átviteli elv alapján: $f(\xi )=\lim(f(x_{n}))\leq 0$ és $f(\xi )=\lim(f(y_{n}))\geq 0\quad (n\in \mathbb {N} )$. Ez csak úgy lehetséges, ha $~f(\xi )=0\,$ ■

A nemsztenderd analízis eszközeivel

Legyen f a fenti tulajdonságú függvény és legyen a illetve b az értelmezési tartománya olyan pontja, hogy a<b és f(a)<0<f(b) (ez feltehető; ellenkező esetben -f-re kell alkalmazni a gondolatmenetet). Legyen ω végtelen nagy természetes szám. Osszuk fel az [a,b] intervallumot ω darab egyenlő részre, az osztópontokat jelöljük x_n-nel. Legyen

$H:=\{n\mid f(x_{n})\leq 0\}$

H nem üres, mert f(a) negatív (a az első „osztópont”) és véges halmaz a nemsztenderd valós számok között (ezt úgy jelöljük, hogy H *véges), így van maximális eleme. Legyen ez az elem M és a hozzá tartozó osztópont x_M. Belátjuk, hogy ha ξ az x_M sztenderd része (vagyis az a normális valós szám, ami végtelenül közel van x_M-hez), akkor f(ξ) = 0.

Ha f(ξ) > 0 lenne, akkor f(x_M)-et (tekintve, hogy f(x_M) nem pozitív) egy véges, nemnulla sztenderd szám választaná el f(ξ)-től, ami f folytonossága miatt lehetetlen (hiszen ξ végtelen közel van x_M-hez).

Ha f(ξ) < 0 lenne, akkor szintén a folytonosság miatt minden, a ξ ponthoz végtelenül közeli pontban a függvény negatív, például az

$x_{M+1}=x_{M}+{\frac {1}{\omega }}$

helyen is (világos, hogy x_M+1 létezik és kisebb mint b, mert ott f pozitív lenne), ami ellentmond M maximális voltának. ■

Ekvivalens állítás

A Bolzano-tételt a következőképpen is ki szokták mondani:

• Ha $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény, és $f(a)\cdot f(b)<0$, akkor van az $(a,b)$ nyílt intervallumon zérushelye.
• Ha $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény, akkor minden $y\in [f(a),f(b)]$-re létezik olyan $\xi \in [a,b]$, amire $y=f(\xi )$.

Ez a két megfogalmazás ekvivalens.

Következmény

Ez a kiterjesztés a következőt jelenti: minden a fenti feltételeknek eleget tevő (intervallumon értelmezett és folytonos) függvényre igaz, hogy minden $a,b\in {\mathcal {D}}_{f},~a<b$-re, ha $f(a)\neq f(b)$, igaz, hogy $\forall c\in [f(a),f(b)]~\exists \xi \in [a,b]~:~f(\xi )=c$.

Vegyük észre, hogy ez a függvény Darboux-tulajdonságát jelenti, azaz minden intervallumon értelmezett folytonos függvény Darboux-tulajdonságú. (Lásd: Bolzano–Darboux-tétel)

További információk

• A PlanetMath Bolzano's theorem szócikke Archiválva 2006. szeptember 25-i dátummal a Wayback Machine-ben