Bohr-féle atommodell

A Bohr-féle atommodell Niels Bohr Nobel-díjas dán fizikus által 1913-ban közzétett modell az atom felépítéséről.

A vonalas színképek értelmezésére és az atomok stabilitásának magyarázatára a korábban Ernest Rutherford által kifejlesztett atommodell nem volt alkalmas. Bohr ezt az elképzelést a Planck-féle kvantumfeltétellel és az Einstein-féle fotonhipotézissel egészítette ki.

A klasszikus fizikát alapfeltevésekkel, posztulátumokkal kiegészített modell elméletileg nem volt levezethető a klasszikus fizika alapján, de sikeresen magyarázta a Rydberg-formulát és a hidrogén színképét. Nem lehet vele értelmezni bonyolultabb atomok vonalas színképét, vagy akár kísérletileg megfigyelhető finomabb részleteket sem, erre csak az atom kvantumfizikai leírása alkalmas. A Bohr-modell azonban az atom felépítésének egy nagyon szemléletes leírása és az ott bevezetésre kerülő fogalmak (pl. pálya, stacionárius állapot) a kvantumfizikai modellben is használatosak.

A modell alapfeltevései

Az elektronok stacionárius körpályái az atommag körül a Bohr-féle atommodell szerint

A Rutherford-féle atommodellben a negatív töltésű elektronok a pozitívan töltött atommag körüli körpályán keringenek. A klasszikus fizika törvényei szerint a centripetális erőt a pozitív és negatív töltés közötti vonzó erő, a Coulomb-erő szolgáltatja. A Bohr-féle atommodell posztulátumai ezen túlmenően:

I. Az elektronok csak bizonyos megengedett sugarú körpályákon keringhetnek. Ezeken a pályákon az elektronok nem sugároznak, energiájuk állandó, ezért a pályák állandósult, ún. stacionárius pályák.

II. A stacionárius állapotok között átmenetek jöhetnek létre. Ekkor az elektron egyik stacionárius pályáról egy másikra kerül, miközben a két pálya közötti energiakülönbségnek megfelelő energiájú fotont az atom kibocsátja, vagy elnyeli. Az atom által emittált, vagy abszorbeált foton $f$ frekvenciáját az energiafeltétel határozza meg:

$\Delta {E}=E_{2}-E_{1}=h\cdot f$.

III. A stacionárius pályák sugarát az elektron pályaperdületének (impulzusmomentumának) a kvantálási szabálya határozza meg. Eszerint az atommag körül $r$ sugarú pályán $v$ sebességgel keringő $m_{e}$ tömegű elektron $L$ impulzusmomentuma a legkisebb $\hbar$ perdület egész számú többszöröse kell legyen:

$L=m_{e}\cdot r\cdot v=n\cdot {\frac {h}{2\pi }}=n\cdot \hbar$,

ahol $n=1,2,3...$ kvantumszám, $h$ a Planck-állandó (hatáskvantum), $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ pedig a redukált Planck-állandó.

A III. posztulátumban szereplő n értéket főkvantumszámnak nevezzük.

A hidrogén energiaszintjei

A Bohr-modell az atom energiaszintjeire jó eredményeket csak az egy elektronnal rendelkező rendszerek esetében ad, ilyenek a hidrogén vagy az ionizált hélium.

A modell abból indul ki, hogy az $m_{e}$ tömegű, $e$ elemi töltésű elektront $r$ sugarú körpályán $v$ sebességgel mozgató centripetális erő egyenlő a $Z$ számú proton és az egy elektron közötti Coulomb-erővel:

${\frac {m_{e}v^{2}}{r}}=k\cdot {\frac {Z\cdot e^{2}}{r^{2}}}$

ahol $k$ a Coulomb-állandó, és $k={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}$, ahol $\epsilon _{0}$ a vákuum permittivitása.

A harmadik posztulátum szerint pedig az elektron mozgásához tartozó impulzusmomentum:

$m_{e}\cdot r\cdot v=n\cdot \hbar$

A két egyenletből kifejezhető az $n$ kvantumszámhoz tartozó sugár és sebesség:

$r_{n}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\cdot \hbar ^{2}}{m_{e}\cdot Z\cdot e^{2}}}\cdot n^{2}={\frac {a_{0}}{Z}}\cdot n^{2}$

$v_{n}={\frac {Z\cdot e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\cdot \hbar ^{2}}}\cdot {\frac {1}{n}}$.

Az $a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\cdot \hbar ^{2}}{m_{e}\cdot e^{2}}}$ az $n=1$ kvantumszámhoz tartozó legkisebb energiájú körpálya sugara, az ún. Bohr-sugár. Értéke: $a_{0}=52,9177\,{\mbox{pm}}$.

A nyugvónak tekinthető atommag körül keringő elektron teljes energiája az elektrosztatikus vonzáshoz tartozó potenciális energia és a mozgási (kinetikai) energia összege:

$E=E_{pot}+E_{kin}=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\cdot {\frac {Ze^{2}}{r_{n}}}+{\frac {1}{2}}m_{e}{v_{n}}^{2}$

A sebesség fenti kifejezését behelyettesítve belátható, hogy a potenciális energia abszolút értéke kétszer annyi, mint a mozgási energia:

$E_{kin}={\frac {1}{2}}m_{e}{v_{n}}^{2}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\cdot {\frac {Ze^{2}}{r_{n}}}={\frac {1}{2}}\cdot \left|E_{pot}\right|$

A teljes energia tehát negatív és fordítottan arányos a pálya sugarával:

$E=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\cdot {\frac {Ze^{2}}{2r_{n}}}$

A maghoz közelebbi pályákhoz tartozó energia negatívabb. Ha az elektron energiája nő, akkor távolodik a magtól. A pálya sugarát behelyettesítve, az $n$ kvantumszámhoz tartozó állapotban a teljes energia:

$E_{n}=-{\frac {m_{e}\cdot Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}$, ahol $n=1,2,3,...$

Az elektronpályákhoz tartozó diszkrét energiaértékek tehát egy sorozatot alkotnak, és az elemek $-{\frac {1}{n^{2}}}$-tel arányosak.

A fizikai állandók értékeit behelyettesítve:

$E_{n}=(-13{,}6\ \mathrm {eV} ){\frac {1}{n^{2}}}\,$

Ezek szerint a hidrogén legalacsonyabb energiaszintje −13,6 eV, a második −3,4 eV, a harmadik −1,5 eV és így tovább. Tehát, az alapállapotban lévő hidrogénatom ionizációs energiája 13,6 eV.

A Rydberg-formula származtatása a Bohr-modell alapján

Bohr-féle atommodell és a foton elnyelése és kibocsátása

A Johannes Rydberg svéd fizikus által 1888-ban megadott Rydberg-formula kísérleti megfigyelésekből származott. A formula a Bohr-modellből levezethető, és a Rydberg-állandóra is jó értéket ad.

A Bohr-modell szerint, ha az elektron egy magasabb energiaszintről egy alacsonyabbra kerül, az atom a két energiaszint közötti energiakülönbségnek megfelelő energiájú fotont bocsát ki. Az energiaszinteket leíró fenti összefüggés alapján a különbség:

$E=E_{i}-E_{k}={\frac {m_{e}Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}}}\left({\frac {1}{n_{k}^{2}}}-{\frac {1}{n_{i}^{2}}}\right)\,$

ahol $i$ jelöli a magasabb energiaszintet, $k$ pedig az alacsonyabbat.

A fotonhipotézis alapján a foton energiája:

$E=h\cdot f=h\cdot {\frac {c}{\lambda }}\,$,

ahol $f$ a foton frekvenciája, $c$ és $\lambda$ a fény sebessége és hullámhossza.

Tehát:

${\frac {m_{e}Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}}}\left({\frac {1}{n_{k}^{2}}}-{\frac {1}{n_{i}^{2}}}\right)=h\cdot {\frac {c}{\lambda }}$.

Miközben az elektron az $n_{i}$ kvantumszámú energiaszintről az $n_{k}$ szintre kerül az atom egy ${\frac {1}{\lambda }}$ hullámszámú fotont bocsát ki:

${\frac {1}{\lambda }}={\frac {m_{e}Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}ch}}\left({\frac {1}{n_{k}^{2}}}-{\frac {1}{n_{i}^{2}}}\right)$.

Ez az ún. Rydberg-formula, amelyben az arányossági tényező a Rydberg-állandó: $R={\frac {m_{e}Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}ch}}$.

Kísérleti bizonyítása

A modell helytállóságának döntő bizonyítékává a Franck–Hertz-kísérlet vált. Kidolgozóit, James Franckot és Gustav Ludwig Hertzet 1925-ben fizikai Nobel-díjjal jutalmazták.

A Bohr-Sommerfeld modell

Bohr modelljét két év múlva, a színképvonalak finomszerkezetét figyelembe véve pontosította Arnold Sommerfeld. A pontosított modellben az elektronok immár ellipszis alakú pályákon is mozoghatnak.

További információk

• Edwin F. Taylor - John A. Wheeler: Téridőfizika. Typotex Kiadó, 2006. ISBN 963-9548-86-3
• Magyarított Flash szimuláció a hidrogén Bohr-modelljéről. Szerző: David M. Harrison