Birkhoff-axiómarendszer

A Birkhoff-axiómarendszert George David Birkhoff alkotta meg 1932-ben. Valójában négy posztulátum, amelyek révén az euklideszi geometria síkját lehet leírni algebrai eszközökkel. Ezeket beosztással rendelkező vonalzóval, valamint szögmérővel kísérletileg lehet ellenőrizni. Mivel a posztulátumok a valós számokon alapulnak, a megközelítés a geometria modellalapú bevezetéséhez hasonló.

Az axiómarendszert Birkhoff és Beatley középiskolai matematikakönyvében közölték először. Erre alapozva az Iskolai Matematikai Tanulmányi Csoport egy szabványt dolgozott ki a geometria főiskolai oktatására. Némely további tankönyv a geometria alapjait szintén ezen axiómarendszer egy változata alapján tanítja.

Posztulátumok

Birkhoff az alábbi négy feltételt kötötte ki:

Az egyenes mértéke

Bármely $P:=\{A,\,B,\,C,\,\dots \}$ kollineáris ponthalmaz 1:1 arányban feleltethető meg egy $R:=\{a,\,b,\,c,\,\dots \}$ valós számhalmaznak, ahol $d(A,B)=|b-a|$ minden pontpárra.

Pont-vonal kapcsolat

Bármely $(P,Q)$ pontpárhoz pontosan egy $l$ egyenes rendelhető, amely tartalmazza mindkét pontot.

A szögek mértéke

Egy adott $O$ ponton átmenő $l,\,m\,n,\,\dots$ egyenessor 1:1 arányban megfeleltethető az $R:=\{a{\bmod {(}}2\pi )|a\in \mathbb {R} \}$ valós számhalmaznak. Ha $A\in l$ és $B\in m$ ($A\neq O,\,B\neq O$), akkor az egyeneseknek megfeleltetett $a$ számokra $(a_{m}-a_{l}){\bmod {(}}2\pi )=AOB\angle$.

Hasonlóság

Ha adottak az $ABC$ és $A'B'C'$ háromszögek és $k>0$ konstans úgy, hogy $d(A,B)=k\cdot d(A',B'),\,d(A,C)=k\cdot d(A',C')$, valamint $BAC\angle =\pm B'A'C'\angle$, akkor $d(B,C)=k\cdot d(B',C')$ és a megfelelő szögek is egyenlőek.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Birkhoff's axioms című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.