Modulus (matematika)

A modulus az algebrai struktúrák egy fajtája, a vektortér fogalmának általánosítása, lazítása, gyengítése, amely bizonyos vektortéraxiómák elhagyásával keletkezik. Egy gyűrű feletti modulus viszonya a gyűrűhöz ahhoz hasonlít, mint egy test feletti vektortér viszonya a testhez. Az algebrában a modulusoknak számos alkalmazása van többek közt a csoportelméletben, a gyűrűelméletben és az algebrai geometriában.

A modulust egy olyan vektortérként foghatjuk fel, ahol a skalárok nem testet, hanem csak gyűrűt alkotnak.

Definíció

Legyen adva egy $R$ gyűrű, és legyen $(M,+)$ Abel-csoport. Tegyük fel, hogy létezik egy $*:R\times M\mapsto M$ „szorzás” művelet (ez fogja a vektorok skalárral való szorzásának szerepét kapni, egymás mellé írással jelöljük). Az $M$ -et bal oldali $R$ -modulusnak nevezzük, ha az előbbi műveletek teljesítik a következő kritériumokat:

Legyenek $r,s\in R$ és $n,m\in M$ . Ekkor:

$r(n+m)=rn+rm$ ,
$(r+s)n=rn+sn$ ,
$r(sn)=(rs)n$ .

Ha $R$ egységelemes gyűrű, akkor $M$ -et unitér modulusnak nevezzük, ha

$1n=n$

Hasonlóan értelmezzük a jobb oldali modulust, ekkor a szorzás a másik oldalról történik. Vannak kétoldali modulusok, ezek egyszerre bal és jobb oldali modulusok, tehát a jobb oldali szorzás ugyanaz, mint a bal oldali szorzás (szokás ezt bimodulusnak is nevezni).

Példák

Legyen $A$ egy Abel-csoport. Ez modulussá tehető $\mathbb {Z}$ egész számok halmaza^[1] felett a következő szorzásművelettel. Legyen $a\in A,n\in \mathbb {Z}$ és ekkor $n*a=a*n=a+\dots +a\,$ $n$ -szer. Ha $n$ negatív, akkor értelem szerint $a^{-1}$ -nek kell az $n$ -szeres összegét venni, ha pedig $n=0$ , akkor $0*a=1_{A}$ . Könnyen ellenőrizhető, hogy ez valóban modulus.

Legyen $R=\mathbb {R} ^{n\times n}$ , tehát az $n\times n$ -es valós mátrixok (az összeadással és a mátrixszorzással mint két művelettel), és legyen $M=\mathbb {R} ^{n}$ , és értelmezzük a szorzást így: minden $X\in R,v\in M$ esetén $X*v=Xv$ , tehát a közönséges mátrix-vektor szorzás. Ez egy bal oldali modulus, de nem kétoldali, ugyanis általában $Xv\not =vX$ .