Betti-tétel

A Betti-tétel a szilárdságtan egyik munkatétele, mely rúdszerkezetek igénybevétele esetén alkalmazható. A tétel nevét Enrico Betti olasz matematikus neve után kapta. A Betti-tétel mellett a szilárdságtan másik munkatétele a Castigliano-tétel.

A tétel kimondása

A Betti-tétel az ún. idegen munkák egyenlőségét mondja ki: W₁₂=W₂₁.

Ez a következőt jelenti: a szerkezetre két különböző - egy 1-es és egy 2-es -, külön-külön egyensúlyi erőrendszert működtetünk, különböző sorrendben felvíve. A már fent lévő 1-es erőrendszer munkát végez akkor, amikor a 2-es erőrendszer hatására a szerkezet további alakváltozást szenved - ez az 1-es erőrendszer munkája a 2-es okozta alakváltozás során(W₁₂). Fordított sorrendben felvíve az erőrendszereket, a 2-es végez munkát az 1-es okozta alakváltozás során(W₂₁). A tétel szerint a 2-es erőrendszer munkája az 1-es okozta elmozdulásokon ugyanannyi, mint az 1-es erőrendszer munkája a 2-es okozta elmozdulásokon.

A Betti-tétel más megfogalmazásban úgy is kifejezhető, hogy az első erőrendszer után a másodikat is felvive U₁₂ értékkel növeli meg a rendszer belső energiáját. Ha azonban az erőket fordított sorrendben visszük fel, és U₂₁ belső energia-növekmény jön létre, akkor U₁₂ = U₂₁, tehát azonos belső energia növekményhez jutunk.

A tétel alkalmazása rúdszerkezetekre

A Betti-tétel jól alkalmazható, ha egy rúdszerkezet egyik rúdjának adott pontbeli elmozdulását, vagy adott pontbeli szögelfordulását keressük egy adott egyensúlyi erőrendszer hatására. Ekkor úgy járunk el, hogy a vizsgált pontban egy egységnyi erőt (vagy nyomatékot) működtetünk, és ez az erő (vagy nyomaték) és az általa kiváltott reakcióerők együtt alkotják a 2-es erőrendszert. Ezt a 2-es erőrendszert "kisbetűs igénybevétel"-nek is nevezzük. Az, hogy erőt vagy nyomatékot használunk attól függ, hogy a lehajlást vagy a szögelfordulást keressük. Lehajlás esetén erővel, szögelfordulás esetén nyomatékkal számolunk. Így az alakváltozási energia képletét felhasználva:

$(\phi ,w)=\int _{l}^{}{\frac {M_{h}(x)m_{h}(x)}{I_{y}E}}\,dx$

ahol:

w - a keresztmetszet adott pontbeli lehajlása
$\phi$ - a keresztmetszet adott pontbeli szögelfordulása
az integrál az adott rúd teljes hosszára vonatkozik
M_h(x) - az eredeti igénybevételből származó hajlítónyomatéki függvény
m_h(x) - a "kisbetűs" igénybevételből származó hajlítónyomatéki függvény
I_y - a rúdnak az adott hajlítás tengelyére vonatkozó másodrendű nyomatéka
E - a rúd anyagának rugalmassági modulusa

Az ábrákon egy egyszerű példa látható: a szerkezet statikailag határozott, és egy koncentrált erő terheli. A kék vonal mutatja a rúd alsó szélső szálának alakváltozás utáni alakját. Az első ábrán van feltüntetve a keresett elmozdulás és szögelfordulás. A második és harmadik ábra a "kisbetűs" igénybevételeket mutatja. Fontos, hogy ezek csak számítási segédletek, nem valódi igénybevételek, a fenti integrálegyenlettel az első ábrán jelölt eredményeket kapjuk.

Irodalom

Budó, Ágoston, Pócza, Jenő. Kísérleti fizika I. Budapest: Tankönyvkiadó (1965)
Elter Pálné: Szilárdságtan példatár

Külső hivatkozások

BME - Műszaki Mechanika Tanszék