Beatty-tétel

A Beatty-tétel az elemi számelmélet egyik állítása. A tételt Samuel Beatty tűzte ki az American Mathematical Monthly feladat rovatában, 1926-ban.

A tétel kimondása

Legyen t>0 irracionális szám. Ekkor t Beatty-sorozatának nevezzük a

${\mathcal {B}}_{t}=[t],[2t],[3t],\dots =\left([nt]\right)_{n\geq 1}$

számsorozatot, ahol a szögletes zárójel az egészrészt jelöli.

A tétel szerint ha $\alpha$, $\beta$ pozitív irracionális számok, amikre teljesül

${\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}=1,$

akkor ${\mathcal {B}}_{\alpha }$ és ${\mathcal {B}}_{\beta }$ együtt minden pozitív egész számot pontosan egyszer tartalmazza.

Bizonyítások

Első bizonyítás

Világos, hogy $\alpha$ és $\beta$ mindketten 1-nél nagyobb számok, ezért ${\mathcal {B}}_{\alpha }$-ban, illetve ${\mathcal {B}}_{\beta }$-ban nem fordulhat elő egynél többször egy egész szám. Tehát a tétel igazolásához elegendő megmutatnunk, hogy ${\mathcal {B}}_{\alpha }\cap {\mathcal {B}}_{\beta }=\emptyset$ (1) és $(\mathbb {N} \setminus {\mathcal {B}}_{\alpha })\cap (\mathbb {N} \setminus {\mathcal {B}}_{\beta })=\emptyset$ (2). Még megjegyezzük, hogy mivel $\alpha$ és $\beta$ irracionális, azért $n\alpha$ és $m\beta$ sosem egész szám.

(1) bizonyítása: Tegyük fel indirekt, hogy van olyan n és m, hogy $n\alpha$ és $m\beta$ ugyanabba a (k;k+1) intervallumba esik, vagyis

$k<n\alpha <k+1$, $k<m\beta <k+1$,

átosztva

${\frac {k}{\alpha }}<n<{\frac {k+1}{\alpha }}$, ${\frac {k}{\beta }}<m<{\frac {k+1}{\beta }}$.

A két egyenlőtlenséget összeadva, és kihasználva a feltételt:

$k<n+m<k+1$,

ami ellentmondás, hisz két szomszédos egész szám közé nem eshet más egész szám.

(2) bizonyítása: Tegyük fel indirekt, hogy valamely [k;k+1) intervallumba nem esik $n\alpha$ és $m\beta$ alakú szám sem. Ilyenkor tehát valamely n-re és m-re fennáll, hogy

$n\alpha <k$, de $k+1<(n+1)\alpha$;

$m\beta <k$, de $k+1<(m+1)\beta$.

Ismét átosztva és összeadva adódik, hogy

$m+n<k\left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}\right)$

és

$(k+1)\left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}\right)<(n+1)+(m+1)$.

A kettőt összevetve $m+n<k<m+n+1$ adódik, ami ismét ellentmondás.

(1) és (2) belátásával pedig a tétel bizonyítást nyert.

Második bizonyítás

Jelölje valamely N>0 egész számra $f(N)$ azt, hogy 0 és N közé $\alpha$-nak és $\beta$-nak összesen hány többszöröse esik. Ha belátjuk, hogy minden N-re, hogy $f(N+1)=f(N)+1$ (*), akkor az $[N;N+1)$ intervallumban pontosan egy $n\alpha$ vagy $m\beta$ alakú szám lehet, így N-et ${\mathcal {B}}_{\alpha }$ és ${\mathcal {B}}_{\beta }$ pontosan egyszer tartalmazza.

Könnyen átgondolható, hogy $\left[{\frac {N}{\alpha }}\right]$ darab $\alpha$-többszörös kisebb N-nél, és $\left[{\frac {N}{\beta }}\right]$ darab $\beta$-többszörös, ahonnan

$f(N)=\left[{\frac {N}{\alpha }}\right]+\left[{\frac {N}{\beta }}\right]$.

Egyfelől, mivel $\alpha$ és $\beta$ irracionális, így garantáltan

$f(N)<{\frac {N}{\alpha }}+{\frac {N}{\beta }}=N$.

Másrészt, az $[x]>x-1$ becslést felhasználva

$f(N)>\left({\frac {N}{\alpha }}-1\right)+\left({\frac {N}{\beta }}-1\right)=N-2$

adódik, így $f(N)$ egész szám lévén csakis $f(N)=N-1$ lehet. Ebből pedig (*) leolvasható.

Megjegyzés: utóbbi bizonyításból világosan látható, hogy a tétel megfordítása is igaz.

Mindkét bizonyítás kis módosításával megkaphatjuk a tétel rokon változatát pozitív racionális számokra: ha (m,n)=1 pozitív egészek, akkor a következő $m+n-2$ racionális szám közül pontosan egy esik az $(1;2),(2;3),\dots ,(m+n-2;m+n-1)$ intervallumok mindegyikébe:

${\frac {m+n}{m}},{\frac {2(m+n)}{m}},\dots ,{\frac {(m-1)(m+n)}{m}}$; ${\frac {m+n}{n}},{\frac {2(m+n)}{n}},\dots ,{\frac {(n-1)(m+n)}{n}}$.

Források

• Alexander Bogomolny, Beatty Sequences, Cut-the-knot
• Skljarszkij-Csencov-Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből I. (Aritmetika és algebra)