Annihilátor (gyűrűelmélet)

Az annihilátor vagy annullátor a matematikában, azon belül a moduluselméletben a torziót illetve ortogonalitást általánosító fogalom.

Definíció

Legyen $R$ egy gyűrű, $M$ egy $R$-balmodulus, $\emptyset \neq S\subseteq M$ egy nemüres részhalmaz. Ekkor az $S$ halmaz annihilátora

$\operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid \forall s\in S:\,rs=0\}$.

Ez azon $R$-beli elemek halmaza, amik „annihilálják” $S$-et. A definíció balmodulus helyett jobbmodulusra is alkalmazható, ekkor $rs=0$ helyett értelemszerűen $sr=0$ írandó.

Egyetlen $x\in M$ elem annihilátorát rendszerint $\operatorname {Ann} _{R}(\{x\})$ helyett a rövidebb $\operatorname {Ann} _{R}(x)$ jelöli. Továbbá ha a kontextusból világos, hogy mely gyűrű feletti modulusról van szó, az $R$ index elhagyható.

Mivel $R$ modulus önmaga felett, $S$ vehető $R$ egy részhalmazának is. Azonban mivel $R$ egyszerre bal- és jobbmodulus is önmaga felett, a jelölésből egyértelműnek kell lennie, hogy éppen melyik oldali modulusról, és így melyik oldali annihilátorról van szó. Erre például az $\ell .\operatorname {Ann} _{R}(S)$ illetve $r.\operatorname {Ann} _{R}(S)$ jelölések használhatók (ahol $\ell$ a bal (left), $r$ a jobb (right) rövidítése).

Ha az $M$ $R$-modulusra $\operatorname {Ann} _{R}(M)=0$, akkor $M$-et hűséges modulusnak nevezzük.

Tulajdonságok

Ha $M$ egy $R$-balmodulus és $\emptyset \neq S\subseteq M$, akkor $\operatorname {Ann} _{R}(S)$ balideál $R$-ben. A bizonyítás triviális: ha $a,b\in \operatorname {Ann} _{R}(S)$, akkor minden $s\in S$-re $(a+b)s=as+bs=0+0=0$ és minden $r\in R$-re $(ra)s=r(as)=r\cdot 0=0$. (A jobbmodulusokra és jobbideálra vonatkozó analóg állítás is igaz.)

Ha $S\leq M$ részmodulus, akkor $\operatorname {Ann} _{R}(S)$ kétoldali ideál lesz, ugyanis minden $t\in R$-re $(at)s=a(ts)=0$, mert $ts\in S$.

Ha $\emptyset \neq S\subseteq M$ és $N=\langle S\rangle \leq M$ az $S$ által generált részmodulus, akkor $\operatorname {Ann} _{R}(N)\subseteq \operatorname {Ann} _{R}(S)$, és a tartalmazás lehet szigorú. Ha $R$ kommutatív, akkor könnyen ellenőrizhető, hogy tartalmazás helyett egyenlőség áll.

$M$ tekinthető $R/\operatorname {Ann} _{R}(M)$-modulusnak is a ${\overline {r}}m:=rm\,$ szorzással (ahol ${\overline {r}}$ jelöli $r$ képét a faktorgyűrűben). Általánosságban ez nem minden $I\subseteq R$ ideál esetében ad jóldefiniált modulusstruktúrát $M$-en, de ha $I\subseteq \operatorname {Ann} _{R}(M)$, akkor a szorzás jóldefiniált lesz. Ha $R/\operatorname {Ann} _{R}(M)$-modulusként tekintjük, akkor $M$ automatikusan hűséges modulus.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben az Annihilator (ring theory) című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.