Alapállapot

Az elektron energiaszintjei az atomban: alapállapot és gerjesztett állapotok. Az energia elnyelését követően az alapállapotú elektron nagyobb energiájú gerjesztett állapotba kerül

Egy kvantummechanikai rendszer alapállapota a legkisebb energiájú sajátállapot. Az alapállapot energiáját a rendszer nullponti energiájának is nevezik. A gerjesztett állapot bármely olyan állapot, amelynek energiája nagyobb, mint az alapállapoté. A kvantumtérelméletben az alapállapotot többnyire vákuumállapotnak vagy vákuumnak nevezik.

Ha egynél több alapállapot létezik, akkor azt degeneráltnak (elfajult) nevezik. Számos rendszer alapállapota degenerált. Degeneráltság akkor jelentkezik, amikor létezik olyan unitér operátor , amely nem triviálisan hat az alapállapotra és kommutál a rendszer Hamilton-operátorával.

A termodinamika harmadik főtétele szerint egy rendszer az abszolút nulla fokon alapállapotban van, azaz entrópiáját az alapállapot degeneráltsága határozza meg. Számos rendszernek, például a tökéletes kristályrácsnak egyedi alapállapota van, így abszolút nulla fokon zérus az entrópiája. Negatív hőmérsékletű rendszereknél a legmagasabb gerjesztett energiájú állapotnak is lehet abszolút nulla a hőmérséklete.

Az alapállapotnak egy dimenzióban nincs csomópontja

Egy dimenziós esetben a Schrödinger-egyenlet alapállapotáról igazolható, hogy nincs zérushelye (csomópontja).

Tekintsük az x = 0 helyen csomóponttal rendelkező ψ állapotot, azaz amelyre ψ(0) = 0. Ebben az állapotban az átlagos energia:

$\langle \psi |H|\psi \rangle =\int dx\,\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)|\psi (x)|^{2}\right),$

ahol V(x) a potenciál.

Most tekintsük az $x=0$ körüli kis, azaz $x\in [-\epsilon ,\epsilon ]$ intervallumot. Vegyünk egy ψ'(x) új (deformált) hullámfüggvényt, melynek definíciója $\psi '(x)=\psi (x)$, ha $x<-\epsilon$; $\psi '(x)=-\psi (x)$, ha $x>\epsilon$, és konstans, ha $x\in [-\epsilon ,\epsilon ]$. Kellően kis $\epsilon$ érték esetén ezt mindig meg lehet tenni, így ψ'(x) folytonos függvény.

Feltételezve, hogy $x=0$ körül $\psi (x)\approx -cx$, felírhatjuk, hogy

$\psi '(x)=N{\begin{cases}|\psi (x)|,&|x|>\epsilon ,\\c\epsilon ,&|x|\leq \epsilon ,\end{cases}}$

ahol $N={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\epsilon ^{3}}}}$ a normálási tényező.

Vegyük észre, hogy a normalizálás miatt a kinetikus energia sűrűsége mindenhol $\left|{\frac {d\psi '}{dx}}\right|^{2}<\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}$. Még fontosabb, hogy az átlagos kinetikus energia $O(\epsilon )$-nal csökken a ψ'-re történő deformálás miatt.

Most tekintsük a potenciális energiát. A definiáltság kedvéért legyen $V(x)\geq 0$. Ekkor nyilvánvaló, hogy az $x\in [-\epsilon ,\epsilon ]$ intervallumon kívül a potenciális energia sűrűsége ψ' esetén kisebb, mivel ekkor $|\psi '|<|\psi |$.

Ugyanakkor az $x\in [-\epsilon ,\epsilon ]$ intervallumban

${V_{\text{avg}}^{\epsilon }}'=\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)|\psi '|^{2}={\frac {\epsilon ^{2}|c|^{2}}{1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\epsilon ^{3}}}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)\simeq 2\epsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots$

teljesül $\epsilon ^{3}$ rendig.

Ugyanennek a szakasznak a járuléka a csomóponttal rendelkező ψ állapot potenciális energiájában

$V_{\text{avg}}^{\epsilon }=\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,V(x)|\psi |^{2}=|c|^{2}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }dx\,x^{2}V(x)\simeq {\frac {2}{3}}\epsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,$

ami ugyan kisebb, viszont ugyanúgy $O(\epsilon ^{3})$ rendű, mint a deformált ψ' állapot esetén. Tehát a potenciális energia változatlan marad $\epsilon ^{2}$ rendig, amikor a $\psi$ állapotot a csomópont nélküli ψ' állapottal helyettesítjük, így az átlagos kinetikus energia $\epsilon$-ban lineáris rendű csökkenése dominálja az összenergia megváltozását.

Ezen a módon eltávolíthatjuk az összes csomópontot és $O(\epsilon )$-nal csökkenthetjük az energiát, ami egyben azt jelenti, hogy ψ' nem lehet az alapállapot. Az alapállapot hullámfüggvényének tehát nem lehet csomópontja – ezzel a bizonyítást befejeztük. (Ezután az energia tovább csökkenthető a hullámosság redukálásával, egészen az innen már variációval elérhető abszolút minimumig.)

Példák

Egydimenziós potenciálgödörben található részecske első négy sajátállapotának hullámfüggvényei. Ezek közül az n=1 esethez tartozik a legalacsonyabb energia, így ez az alapállapot

• Egy egydimenziós dobozba zárt részecske hullámfüggvénye alapállapotban félperiódusú szinuszhullám, mely a két végpontnál nulla értéket vesz fel. A részecske energiája ${\frac {h^{2}n^{2}}{8mL^{2}}}$, ahol h a Planck-állandó, m a részecske tömege, n az energiaszint (n = 1 felel meg az alapállapotnak), és L a doboz mérete.
• A hidrogénatom alapállapotának hullámfüggvénye gömbszimmetrikus eloszlást mutat, melynek középpontja az atommagban helyezkedik el, az értéke itt a legnagyobb, ettől távolodva pedig exponenciálisan csökken. Az elektron legnagyobb valószínűséggel az atommagtól a Bohr-sugárral megegyező távolságra található meg. Ezt a függvényt 1s atompályának nevezzük. A hidrogénben az elektron alapállapotának energiája az ionizációs határhoz képest −13,6 eV. Más szóval 13,6 eV energia szükséges ahhoz, hogy az elektron már ne legyen az atomhoz kötve.
• A másodperc pontos definíciója 1997 óta az alapállapotú – 0 K hőmérsékletű, nyugvó – cézium-133 atom két hiperfinom energiaszintje közötti átmenetnek megfelelő sugárzás 9 192 631 770 periódusának időtartama.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Ground state című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Irodalom

• Az energiaszintek leírása a 2–5. fejezetekben szerepel, a hidrogénatomot a 19. fejezet tárgyalja, The Feynman Lectures on Physics (angol nyelven) (1965) 

---

---