Abel-teszt

A matematikában, az Abel-teszt (Abel-kritériumnak is hívják) módszer a véges sorok konvergenciájának. A tesztet Niels Henrik Abel matematikusról nevezték el.

Két kissé különböző változat létezik, az egyik valós számok sorozatára, a másik a komplex analízisben a hatványsorokra használható.

Abel-teszt a valós analízisben

Ha a következő állítások igazak:

1. $\sum a_{n}$ egy konvergens sorozat
2. {$b_{n}$} egy monoton sorozat
3. {$b_{n}$} korlátos,

akkor $\sum a_{n}b_{n}$ konvergens.

Abel-teszt a komplex analízisben

Az Abel-tesztet gyakran hatvány-sorok – egy konvergencia körön belüli - konvergenciájának megállapítására használják. Az Abel-teszt az állítja, hogy ha

$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0\,$

és a

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\,$ sorozat

konvergál, ha |z| < 1 és divergál ha |z| > 1, továbbá a {a_n} együtthatók pozitív valós számok, monoton csökkennek a zéró határérték felé n > m esetén (azaz, ha n elég nagy), akkor az f(z) függvény konvergál mindenhol egy egységnyi körön belül, kivéve, amikor z = 1.

Az Abel-teszt nem alkalmazható, amikor z = 1, úgy, hogy ebben a speciális pontban külön kell vizsgálni a konvergenciát.

Megjegyzendő, hogy az Abel-teszt olyan hatvány sorokra is alkalmazható, ahol a konvergencia sugara R ≠ 1, egy egyszerű változó cserével: ζ = z/R.

Az Abel-teszt bizonyítása

Tegyük fel, hogy z egy egységnyi körben egy pont, és z ≠ 1. Ekkor

$z=e^{i\theta }\quad \Rightarrow \quad z^{\frac {1}{2}}-z^{-{\frac {1}{2}}}=2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\neq 0$

így, bármely két pozitív egészre p > q > m, írhatjuk, hogy

${\begin{aligned}2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\left(S_{p}-S_{q}\right)&=\sum _{n=q+1}^{p}a_{n}\left(z^{n+{\frac {1}{2}}}-z^{n-{\frac {1}{2}}}\right)\\&=\left[\sum _{n=q+2}^{p}\left(a_{n-1}-a_{n}\right)z^{n-{\frac {1}{2}}}\right]-a_{q+1}z^{q+{\frac {1}{2}}}+a_{p}z^{p+{\frac {1}{2}}}\,\end{aligned}}$

ahol S_p és S_q részleges szummák:

$S_{p}=\sum _{n=0}^{p}a_{n}z^{n}.\,$

Mivel |z| = 1 és a a_n monoton csökkenő pozitív valós számok ha n > m, akkor írhatjuk:

${\begin{aligned}\left|2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\left(S_{p}-S_{q}\right)\right|&=\left|\sum _{n=q+1}^{p}a_{n}\left(z^{n+{\frac {1}{2}}}-z^{n-{\frac {1}{2}}}\right)\right|\\&\leq \left[\sum _{n=q+2}^{p}\left|\left(a_{n-1}-a_{n}\right)z^{n-{\frac {1}{2}}}\right|\right]+\left|a_{q+1}z^{q+{\frac {1}{2}}}\right|+\left|a_{p}z^{p+{\frac {1}{2}}}\right|\\&=\left[\sum _{n=q+2}^{p}\left(a_{n-1}-a_{n}\right)\right]+a_{q+1}+a_{p}\\&=a_{q+1}-a_{p}+a_{q+1}+a_{p}=2a_{q+1}.\,\end{aligned}}$

Most alkalmazhatjuk a Cauchy-konvergenciakritériumot annak megállapítására, hogy f(z) konvergál a kiválasztott pontnál z ≠ 1, mert sin(½θ) ≠ 0 egy állandó mennyiség, és a_q+1 kisebb lesz bármely adott ε > 0 –nál, ha q elég nagy.

Irodalom

• Gino Moretti: Functions of a Complex Variable. (hely nélkül): Prentice-Hall, Inc. 1964.  

Kapcsolódó szócikkek

• Véges sor
• Konvergens
• Cauchy-konvergenciakritérium
• Taylor-sor
• Weisstein, Eric W.: Abel's Uniform Convergence Test (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Abel-féle egyenletes konvergencia teszt
• Weisstein, Eric W.: Mercator Series (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/17thCentury/RouseBall/RB_Math17C.html