A Schwarzschild-megoldás levezetése

Az általános relativitáselméletnek a gömbszimmetrikus vákuum megoldását Schwarzschild-megoldásnak nevezzük, amely egy pontforrás gravitációs terét írja le.

Jelölések

A következő koordináta négyest használjuk $\left(r,\theta ,\phi ,t\right)$ .

Feltételezéseink

(1) Gömbszimmetrikus téridőben a metrika nem változik a $\theta \rightarrow -\theta$ vagy $\phi \rightarrow -\phi$ tükrözések esetén, valamint a két változóban történő forgatások elvégzése esetén.

(2) A statikus téridőben az összes metrikus komponens $t$ (idő) független (azaz ${\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial t}}=0$) és nem változik időtükrözés $t\rightarrow -t$ esetén sem.

(3) Vákuum megoldás esetén az Einstein-egyenletek jobb oldala eltűnik, tehát $T_{ab}=0$. Így az egyenletekből $R=0$ következik. Továbbá az $R_{ab}-{\frac {R}{2}}g_{ab}=0$ egyenletből $R_{ab}=0$ kapunk.

A metrika diagonalizálása

A $(r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,\phi ,-t)$, transzformációra a metrika nem változik. A $g_{\mu 4}$ ($\mu \neq 4$) komponensek a következőképpen transzformálódnak:

$g_{\mu 4}'={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{'\mu }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{'4}}}g_{\alpha \beta }=-g_{\mu 4}$ ($\mu \neq 4$)

Mivel a $g'_{\mu 4}=g_{\mu 4}$ metrikus komponensek nem változnak:

$g_{\mu 4}=\,0$ ($\mu \neq 4$)

A $(r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,-\phi ,t)$ és a $(r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,-\theta ,\phi ,t)$ koordináta transzformációkból:

$g_{\mu 3}=\,0$ ($\mu \neq 3$)

$g_{\mu 2}=\,0$ ($\mu \neq 2$)

Összegezve:

$g_{\mu \nu }=\,0$ ($\mu \neq \nu$)

Tehát a metrika a következő alakú

$ds^{2}=\,g_{11}\,dr^{2}+g_{22}\,d\theta ^{2}+g_{33}\,d\phi ^{2}+g_{44}\,dt^{2}$

A komponensek kiszámítása

Azon a hiperfelületen ahol $t$, $\theta$ és $\phi$ konstans, a $g_{11}$ komponens csak $r$ -től függ. Tehát

$g_{11}=A\left(r\right)$

hasonlóan

$g_{44}=B\left(r\right)$

vagy hagyományos jelölésmóddal

$g_{11}=h^{2}$ és $g_{00}=-f^{2}$

Konstans $t$ és $r$ estén

$dl^{2}=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})$

továbbá

${\tilde {g}}_{22}\left(d\theta ^{2}+{\frac {{\tilde {g}}_{33}}{{\tilde {g}}_{22}}}\,d\phi ^{2}\right)=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})$

amiből:

${\tilde {g}}_{22}=r_{0}^{2}$ és ${\tilde {g}}_{33}=r_{0}^{2}\sin ^{2}\theta$

Valamint

$g_{22}=\,r^{2}$ és $g_{33}=\,r^{2}\sin ^{2}\theta$

Tehát a metrika alakja a következő lesz:

$ds^{2}=A\left(r\right)dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+B\left(r\right)dt^{2}$

Vagy hagyományos jelölésmóddal

$g_{ik}={\begin{bmatrix}-f^{2}&0&0&0\\0&h^{2}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}$

A Christoffel-szimbólumok kiszámítása

Hosszas számolás után a metrikus tenzorból kiszámíthatók a Christoffel-szimbólumok.

$\Gamma _{ik}^{0}={\begin{bmatrix}0&f'/f&0&0\\f'/f&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

Ahol a vessző az r szerinti deriválást jelöli.

$\Gamma _{ik}^{1}={\begin{bmatrix}ff'/h^{2}&0&0&0\\0&h'/h&0&0\\0&0&-r/h^{2}&0\\0&0&0&-r\sin ^{2}\theta /h^{2}\end{bmatrix}}$

$\Gamma _{ik}^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&1/r&0\\0&1/r&0&0\\0&0&0&-\sin \theta \cos \theta \end{bmatrix}}$

$\Gamma _{ik}^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1/r\\0&0&0&\cot \theta \\0&1/r&\cot \theta &0\end{bmatrix}}$

$A(r)$ és $B(r)$ kiszámítása

Használjuk a vákuum esetén érvényes

${\rm {R_{ab}=\,0}}$

egyenletet. A 10 független egyenletből 6 triviálisan teljesül. A maradék négy a következő

${\rm {4{\dot {A}}B^{2}-2r{\ddot {B}}AB+r{\dot {A}}{\dot {B}}B+r{\dot {B}}^{2}A=0}}$

${\rm {r{\dot {A}}B+2A^{2}B-2AB-r{\dot {B}}A=0}}$

${\rm {-2r{\ddot {B}}AB+r{\dot {A}}{\dot {B}}B+r{\dot {B}}^{2}A-4{\dot {B}}AB=0}}$

(A 4. egyenlet $\sin ^{2}\theta$ -szorosa a 2. egyenletnek.)

Itt a pont az r szerinti deriválást jelöli. Kivonva az első egyenletet a harmadikból

${\rm {{\dot {A}}B+A{\dot {B}}=0\Rightarrow A(r)B(r)=K}}$

Továbbá $A(r)B(r)\,=K$

${\rm {r{\dot {A}}=A(1-A)}}$

aminek az általános megoldása:

${\rm {A(r)=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}}}$

Itt $S$ egy nem nulla valós szám (hasonlóan $K$ -hoz). Tehát a statikus gömbszimmetrikus általános megoldás a metrikára:

${\rm {ds^{2}=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})+K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)dt^{2}}}$

Gyenge tér közelítés $K$ és $S$ meghatározására

A metrikának gyenge tér közelítésben vissza kell adnia a newtoni tömegvonzást. Továbbá, ha a tömeggel nullához közelítünk a Minkowski-téridőt kell megkapnunk.

$0=\delta \int {\frac {ds}{dt}}dt=\delta \int (KE+PE_{g})dt$

egyenletet. Gyenge tér közelítésben:

$g_{44}=K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)\approx -c^{2}+{\frac {2Gm}{r}}=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)$

ahol $G$ a gravitációs állandó, $m$ a tömeg és $c$ a fénysebesség

$K=\,-c^{2}$ és ${\frac {1}{S}}=-{\frac {2Gm}{c^{2}}}$

Így:

$A(r)=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}$ és $B(r)=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)$

Tehát a Schwarzschild-metrika a következő alakú lesz:

$ds^{2}=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)dt^{2}$

Irodalom

• Landau-Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1976
• Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó, Budapest, 1963
• Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006. ISBN 9630584239

Lásd még

• Kerr-metrika
• Reissner–Nordström-metrika