Úszóképesség

Folyadékba merített testre ható erők

Tekintsünk egy ρ_F sűrűségű folyadékba merített ρ_T sűrűségű testet, és annak egy dA keresztmetszetű, z tengelyű elliptikus hengerrel kimetszett dV térfogatelemét. A térfogatelemre a dW súlyerőn kívül a folyadék oldalról a P₁ és P₂ erők is hatnak. A P₁ a folyadék (z+h) mélységében mérhető nyomásból származik, és a dS₁ felület n₁ normálisának irányában hat, míg a P₂ a z mélységű nyomásból ered, és a dS₂ felület n₂ normálisának irányába hat. Ezek alapján:

P₁ = - (z+h) ρ_F g dS₁ n₁

P₂ = - z ρ_F g dS₂ n₂

dW = ρ_T g dV e_z

Ezen erők eredőjének z irányú komponense amennyiben a P₁ és P₂ erők abszolút értékét P₁ és P₂ jelöli:

dF = (cosα₂ P₂ - cosα₁ P₁ + ρ_T g dV) e_z

dF = [(cosα₂ z ρ_F g dS₂ - cosα₁ (z+h) ρ_F g dS₁ + ρ_T g dV)] e_z

A dS₁ és dS₂ felületek az xy síkkal - merőleges szárú szögeket szerkesztvén - ugyanolyan szöget zárnak be, mint a P₁ és P₂ vektorok a z tengellyel, így a cosα₁ dS₁ szorzat a dS₁ felület, a cosα₂ dS₂ szorzat a dS₁ felület x, y síkra vonatkozó vetületét állítja elő, ami mindkettőnél ugyanaz a dA. Ezt beírva a dF = [(cosα₂ z ρ_F g dS₂ - cosα₁ (z+h) ρ_F g dS₁ + ρ_T g dV)] e_z egyenletbe

dF = [ ρ_T g dV - h dA ρ_F g] e_z

A h dA szorzat viszont épp a tekintett dV térfogatelemet állítja elő, ezért

dF = (ρ_T - ρ_T) g dV e_z

Integrálva a teljes térfogatra, a testre ható F erő

F = (ρ_T V g - ρ_F V g) e_z

Az egyenlet két tagból, egy felfelé mutató összetevőből, ennek nagysága a kiszorított folyadék súlyával egyenlő, és a test súlyával azonos lefelé mutató erőből tevődik össze. Az így megfogalmazott összefüggés nem más, mint a jól ismert Arkhimédész törvénye. Ha ρ_F nagyobb, mint a test ρ_T sűrűsége akkor a test felúszik, ellenkező esetben elmerül. Egy felszínen lebegő test annyi folyadékot szorít ki, melynek súlya megegyezik a test súlyával.