Ötszín-tétel

A gráfelméletben az ötszín-tétel kimondja, hogy bármilyen térkép kiszínezhető legfeljebb öt szín felhasználásával. Ez természetesen következik az erősebb négyszín-tételből, de sokkal könnyebben bizonyítható annál. Alfred Kempe 1879-es, a négyszín-sejtésre adott hibás bizonyításának felhasználásával Percy John Heawoodnak sikerült először bizonyítania.

A bizonyítás menete

Először is, az adott térképhez rendeljünk hozzá egy $G$ gráfot, úgy hogy annak minden csúcspontja a térkép egy régiójának feleljen meg, és két csúcspontot akkor és csak akkor kössünk össze, ha a megfelelő régióknak közös határvonaluk van. Így a problémát átalakítottuk egy gráfszínezési problémává: úgy kell a gráf csúcspontjait kiszínezni, hogy egyik éle se kössön össze azonos színű pontokat.

A bizonyítás felteszi egy $G$ minimális ellenpélda-gráf létezését, tehát a legkisebb gráfét, amit nem lehet öt színnel kiszínezni. Ezután az Euler-karakterisztika felhasználásával megmutatja, hogy ebben a gráfban léteznie kell egy $V$ csúcsnak, amiben legfeljebb öt él találkozik, majd kihasználja, hogy $G$ síkba rajzolható gráf, tehát lerajzolható a síkban anélkül, hogy egymást metsző éleket rajzolnánk.

Most távolítsuk el $V$ csúcspontot a $G$ gráfból. Az így nyert $G^{'}$ gráfnak kevesebb csúcspontja van, mint $G$-nek, tehát indukcióval feltehetjük, hogy ugyanúgy kiszínezhető öt színnel. Ezután tekintsük az öt csúcsot, amelyek $V$-vel szomszédosak voltak, legyenek ezek $V_{1}$, $V_{2}$, $V_{3}$, $V_{4}$ és $V_{5}$. Ha nem használtuk fel mind az öt színt, akkor nyilvánvalóan ki tudjuk színezni a $V$ csúcspontot úgy, hogy a gráfot 5 színnel tudjuk színezni.

Így tehát feltehetjük, hogy a $V_{1}$, $V_{2}$, $V_{3}$, $V_{4}$ és $V_{5}$ csúcspontok az 1, 2, 3, 4, 5 jelű színekkel vannak színezve.

Ezután tekintsük $G^{'}$ azon $G_{13}$ részgráfját, ami csak azokat a csúcspontokat tartalmazza, amelyek színe 1-es vagy 3-as, és a köztük lévő éleket. Ha a $V_{1}$ és a $V_{3}$ csúcspontok a $G_{13}$ részgráf nem összefüggő részén vannak, fordítsuk meg $V_{1}$ színezését úgy, hogy az 1-es számú színt a $V$ csúcshoz rendeljük hozzá.

Ha viszont $V_{1}$ és $V_{3}$ csúcspontok a $G_{13}$ összefüggő részén vannak, akkor találhatunk a $G_{13}$ részgráfban őket összekötő utat, tehát élek és csúcspontok olyan sorozatát, ami csak az 1-es és a 3-as színekkel van színezve.

Ezután tekintsük a $G^{'}$ azon $G_{24}$ részgráfját, ami csak a 2-es vagy 4-es színű csúcspontokat és a köztük lévő éleket tartalmazza, és alkalmazzuk az 1 és 3 színeknél használt logikai lépéseket. Ezután vagy meg tudjuk fordítani a színezést a $G_{24}$ részgráfon és a $V$ csúcspontot mondjuk 2 színűre színezni, vagy a $V_{2}$ és a $V_{4}$ csúcsok között létezik út, ami csak 2-es vagy 4-es színű csúcspontokon megy át. Ez utóbbi lehetőség teljesen abszurd, hiszen ez az út keresztezné azt az utat, amit a $G_{13}$ részgráfban konstruáltunk.

Tehát $G$ valójában kiszínezhető öt színnel, így az eredeti feltételezésünk hamis volt.

Kapcsolódó szócikkek

• Négyszín-tétel